将2D点映射到固定网格

Question

在假想的2D表面上有任意数量的点。我在同一个表面上也有一个网格，沿着X和Y访问以规则的间隔有点。我的任务是将每个点映射到最近的网格点。

代码很直接，直到网格点不足为止。我正在开发的代码找到最近的网格点，如果当前点的距离更短，则显示已经映射的点。

然后我添加了第二步，将每个映射点与另一个映射点进行比较，如果将映射与另一个点交换产生两个点的总映射距离的较小总和，则交换它们。

这最后一步似乎很重要，因为它减少了交叉地图线的数量。 （这将用于将板上的点映射到另一个板上的网格，其中引脚连接两者，并且不交叉的线似乎更有可能使引脚不接触。）

问题：

1. 任何人都可以评论我的想法，如果上面的图像真正优化了（也就是说，映射点 - 整体 - 总距离最小），那么没有一条线交叉？ / p>

2. 并且有任何人看到任何现有的算法来帮助解决这个问题。我已经搜索过，但却什么也没找到。

Answer 1

如果我正确理解您的主要问题，最小化线段的总长度，您使用的算法找不到最佳映射，并且在您的图像中很清楚。例如当两个线段相互交叉时，简单的数学表明如果重新排列它们的端点使得它们不交叉，则它提供了更好的总和。你可以使用这种简单的方法（重新排列交叉项）来更好地逼近最优项，你应该应用交换更多的迭代。

在下面的图片中你可以看到为什么穿越长度比非穿越（第一个问题）以及为什么通过交换一旦仍然存在交叉边缘（第二个问题和wrt评论），我只画了一个样本，实际上是一个可能需要多次交换迭代才能获得非交叉结果。

这是一种启发式算法，当然不是最优的，但我希望它非常好，高效且易于实现。

Answer 2

问题可以作为Assignment Problem的变体来处理，其中“代理”是网格方块，而点是“任务”，（反之亦然），它们之间的距离是“成本“代理 - 任务组合。您可以使用Hungarian algorithm解决。

要处理网格方块多于点的事实，请找到要考虑的可能网格方块的边界框，并添加与所有网格方块关联的成本为0的虚拟点。

匈牙利算法是O（n ³ ），也许你的方法已经足够好了。

另见：

How to find the optimal mapping between two sets?

How to optimize assignment of tasks to agents with these constraints?