所有图灵机的集合是可计数的，而所有无限二进制序列的集合是不可数的

Question

尝试学习决赛并且与可数性相混淆。

我知道任何图灵机都可以描述为一个字符串。我们有有限数量的输入（Σ）。我们可以计算每个长度的字符串组合。

假设有256个不同的输入符号。

对于字符串长度为1：256的组合。

对于字符串长度2：我们有256 ^ 2个组合。

对于字符串长度k，我们有256 ^ k个组合。

然后我们对所有这些组合进行编号。

1,2 ... 256， 257,258 ...... 256 + 256 ^ 2 ......

由于自然数是可数的，因此存在双射映射。因此，所有图灵机的设置都是可数的。

我的问题是为什么我不能对所有无限二进制序列做同样的事情？我找到了每个长度的所有组合，给它们编号，然后我会得到一个双射映射。

非常感谢！

Answer 1

听起来你在问Cantor的对角线论点。给定一组无限序列，您可以制作一个不在集合中的序列。

这与你无法计算无理数的论点非常相似。鉴于该集合由数字/字符串/等组成，您将始终能够制作不在集合中的数字。这是无限长的。

我认为你论证中最大的缺陷就是你说“我找到了每个长度的所有组合”但是考虑到你允许字符串具有无限长度，这是不可能的。