多项式减少是可逆的吗？

Question

此陈述是真还是假：“如果问题A被多项式简化为问题B，则问题B也必须多项式简化为A ”。

Answer 1

这是错误的，将可简化为关系视为其硬度小于或等于。例如，如果A是多项式可简化为B，则意味着就硬度而言A <= B（求解它所需的计算量）。如果A可以简化为B，则意味着A比B更简单（或者更难），这意味着如果你能解决B，你也可以解A。

一些补充资料： P中的任何问题都是简单的并且可以在多项式时间内解决的问题，可以简化为NP完全（例如SAT）中的任何问题。这意味着P中的问题比NP-complete中的问题更简单。现在，如果你的陈述是真的那么NP-complete中的问题就会在多项式时间内得到解决，这似乎是不可能的（没有人证明或反驳过它）。如果有人解决它会有混乱!!!

https://en.wikipedia.org/wiki/P_versus_NP_problem

SAT problem

A world with P=NP

Answer 2

这是一篇关于复杂性理论（C.H.Papadimitriou，Computational Complexity）的知名毕业生文本的（稍微编辑过的）插图。它显示了 A 到 B 的减少量。

从 A 减少到 B 是一种解决 A 的算法，该算法由翻译 R 组成将 A 的每个实例映射到 B 的实例，以及 B 的算法。翻译必须确保 A （ x ）和 B （ R （ x）的答案））是一样的。

这种翻译的存在并不能保证逆翻译也存在。直观地， A 实例的图像可能构成 B 的 easy 实例的子集。

任何人都可以轻易地提出一个简单的问题示例，即一个方向的减少并不能保证减少另一个方向。例如，2-SAT可以简单地简化为SAT，但2-SAT在多项式时间内是可解的，而SAT是NP完全的。

Answer 3

这是错误的。请考虑以下问题：

  

给定有限自动机，是否在给定输入上停止？

这个问题的答案始终是肯定的，因为所有确定性有限自动机都停止在所有输入上。但是，这个问题是多项式时间可以减少到以下问题：

  

鉴于图灵机，它是否会在给定输入上停止？

在一般情况下，这个问题的答案恰好是不可判定的。这是暂停的问题。但是，如果我们有一个这个问题的神谕，我们当然可以用它来回答第一个问题，尽管效率要低得多：

1. 生产相当于DFA的图灵机
2. 使用oracle确定图灵机是否停止。

然而，图灵机的暂停问题不是多项式时间可以减少到DFA的暂停问题。