类调度到布尔可满足性[多项式时间缩减]

Question

我有一些理论/实际问题，我现在对如何管理没有任何线索，这是：

我创建了一个SAT solver能够在存在模型时找到模型，并且当使用遗传算法在C中CNF问题不是这种情况时证明矛盾。

SAT问题看起来基本上就像这种问题： 我的目标是使用此求解器在许多不同的NP-completes问题中找到解决方案。基本上，我将不同的问题转换为SAT，用我的求解器解决SAT，然后将解决方案转换为原始问题可接受的解决方案。

我已经成功获得N * N数独以及N-queens问题，但这是我的新目标：将类调度问题减少到SAT，但我不知道如何按顺序形成类调度问题之后在SAT中轻松转换它。

很明显，在几个月内，我们的目标就是制作一张如下图所示的时间表：

我发现这个source-code能够解决课程安排问题，但不幸的是没有减少SAT：/

我还发现了一些关于一般规划的文章（例如http://www.cs.rochester.edu/users/faculty/kautz/papers/kautz-satplan06.pdf）。

但是本文中使用的planning domain definition language似乎对我来说太过笼统，不能代表类调度问题。 ：/

是否有人知道如何有效地形成类调度以便将其减少为SAT，然后将SAT解决方案（如果存在^^）转换为类计划？

我基本上对任何建议持开放态度，我现在不知道如何表示，如何减少问题，如何将SAT解决方案转换为计划......

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跟进问题：Class Scheduling to Boolean satisfiability [Polynomial-time reduction] part 2

Answer 1

我将首先尝试将问题正式化，然后尝试将其缩减为SAT。

将课程安排问题定义为：

Input = { S1,S2,....,Sn | Si = {(x_i1, y_i1), (x_i2, y_i2) , ... , (x_ik, y_ik) | 0 <= x_ij < y_ij <= M } } 

非正式：输入是一组类，每个类是（x，y）形式的一组（开放）区间
（M是描述“一周结束”的常量）

输出：当且仅当存在某些集时才为真：

R = { (x_1j1, y_1j1) , ..., (x_njn, y_njn) | for each a,b: (x_aja,y_aja) INTERSECTION (x_bjb,y_bjb) = {} }

非正式地：当且仅当存在某些间隔分配以使每对间隔之间的交集为空时才为真。

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缩减为SAT：

为每个区间V_ij定义一个布尔变量
在此基础上，定义公式：

F1 = (V_11 OR V_12 OR ... OR V_1(k_1)) AND .... AND (V_n1 OR V_n2 OR ... OR V_n(k_n))

非正式地，当且仅当每个班级的间隔中至少有一个“满足”时，F1才会满意

定义Smaller(x,y) = true当且仅if x <= y ¹
我们将使用它来确保间隔不重叠。
请注意，如果我们想确保（x1，y1）和（x2，y2）不重叠，我们需要：

x1 <= y1 <= x2 <= y2 OR  x2 <= y2 <= x1 <= y1

由于输入保证x1<=y1, x2<=y2，因此减少为：

y1<= x2 OR y2 <= x1

使用我们的Smaller和boolean子句：

Smaller(y1,x2) OR Smaller(y2,x1)

现在，让我们定义要处理它的新子句：

对于每对类a，b和区间c，d（c in a，d in b）

G_{c,d} = (Not(V_ac) OR Not(V_bd) OR Smaller(y_ac,x_bd) OR Smaller(y_bd,x_ac))

非正式地，如果没有使用间隔b或d中的一个 - 该条款得到满足并且我们完成了。否则，两者都被使用，我们必须确保两个间隔之间没有重叠。
这保证了如果c，d都被“选择” - 它们不重叠，对于每对间隔都是如此。

现在，形成我们的最终公式：

F = F1 AND {G_{c,d} | for each c,d}

这个公式可以确保我们：

1. 对于每个班级，至少选择一个区间
2. 对于每两个间隔c，d - 如果选择c和d，则它们不重叠。

小注意：此公式允许从每个类中选择多于1个间隔，但如果存在一个t> 1个间隔的解决方案，则可以在不改变解决方案正确性的情况下轻松删除t-1。

最后，选择的区间是我们定义的布尔变量V_ij。

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示例：

Alebgra = {(1,3),(3,5),(4,6)} Calculus = {(1,4),(2,5)}

定义F：

F1 = (V1,1 OR V1,2 OR V1,3) AND (V2,1 OR V2,2)

定义G：

G{A1,C1} = Not(V1,1) OR Not(V2,1) OR  4 <= 1 OR 3 <= 1 //clause for A(1,3) C(1,4)
         = Not(V1,1) OR Not(V2,1) OR false = 
         = Not(V1,1) OR Not(V2,1)
G{A1,C2} = Not(V1,1) OR Not(V2,2) OR  3 <= 2 OR 5 <= 1 // clause for A(1,3) C(2,5)
         = Not(V1,1) OR Not(V2,2) OR false = 
         = Not(V1,1) OR Not(V2,2)
G{A2,C1} = Not(V1,2) OR Not(V2,1) OR  5 <= 1 OR 4 <= 3 //clause for A(3,5) C(1,4)
         = Not(V1,2) OR Not(V2,1) OR false = 
         = Not(V1,2) OR Not(V2,1)
G{A2,C2} = Not(V1,2) OR Not(V2,2) OR  5 <= 2 OR 5 <= 3 // clause for A(3,5) C(2,5)
         = Not(V1,2) OR Not(V2,2) OR false = 
         = Not(V1,2) OR Not(V2,2)
G{A3,C1} = Not(V1,3) OR Not(V2,1) OR  4 <= 4 OR 6 <= 1 //clause for A(4,6) C(1,4)
         = Not(V1,3) OR Not(V2,1) OR true= 
         = true
G{A3,C2} = Not(V1,3) OR Not(V2,2) OR  6 <= 2 OR 5 <= 4 // clause for A(4,6) C(2,5)
         = Not(V1,3) OR Not(V2,2) OR false = 
         = Not(V1,3) OR Not(V2,2)

现在我们可以展示我们的最终公式：

    F = (V1,1 OR V1,2 OR V1,3) AND (V2,1 OR V2,2) 
        AND  Not(V1,1) OR Not(V2,1) AND Not(V1,1) OR Not(V2,2)
        AND  Not(V1,2) OR Not(V2,1) AND Not(V1,2) OR Not(V2,2)
        AND  true AND Not(V1,3) OR Not(V2,2)

仅在以下情况下才满足以上条件：

V1,1 = false
V1,2 = false
V1,3 = true
V2,1 = true
V2,2 = false

代表时间表：代数=（4,6）;根据需要，微积分=（1,4）。

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（1）可以很容易地计算为公式的常数，这些常数有多项式数。