Question

我的问题如下：

给定树（V，E），找到中心节点v使得总和{w in V} [dist（v，w）]最小，其中dist（v，w）是最短的边数从v到w的路径。算法应该在O（n）时间内运行（n是树中节点的数量）。

问题here和here也要求中心节点，但以不同方式定义。

我没有经过严格的步骤，但实际上我认为我的问题的解决方案应该类似于this problem的解决方案。

但是，我决定与社区分享我的问题，因为我花了一段时间导航到the link，然而却没有直接回答这个问题。

Answer 1

我提出了这个解决方案：

1）选择任意节点作为根r，形成树。对于此树中的每个子树，计算子树中的节点数（叶子是单节点树）。

作为这棵树的一个例子

          1
        / | \
       2  3  4 
      / \     \
     5   6     7
        / \
       8   9

结果将是

          9
        / | \
       5  1  2 
      / \     \
     1   3     1
        / \
       1   1

2）计算此选定根的距离总和。例如，如果选择顶点1作为根，则距离之和为 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 = 15

3）以depth-first-search方式遍历树。例如，从顶点1开始，我们遍历顶点4.我们观察到7个节点（1,2,3,5,6,8,9），我们进一步增加1（添加7 = 9-2到得分），对于其他2（4,7），我们越来越接近1（减去2）。这使得距离总和等于15 +（9-2）-2 = 20.

假设我们接下来从4到7遍历。现在我们得到的距离总和等于20+（9-1）-1 = 27（从8个顶点进一步增加，并且越来越接近1个顶点）。

作为另一个例子，如果我们从1遍历到2，我们得到的距离之和等于15+（9-5）-5 = 14.顶点2实际上就是这个例子的解。

这将是我的算法。

Answer 2

每条边e = {a，b}具有以下属性：

节点e = {a，b}的a_count可以评估如下： *得到a的所有边缘，不包括e，求和a_count *在总和上加1

节点e = {a，b}的a_sum可以评估如下： *得到a的所有边缘，不包括e，总和他们的a_sum *添加a_count（每个枚举边包含+1，a包含+1）

您可以在接受节点和方向参数的递归函数中自由地进行计算，将获得的结果保存在全局数组中。

如果在两个方向上在树的每个边缘上运行此功能，则可以完全计算边缘。所有计算的总时间是O（n），因为一旦你得到一些子树，递归性质将在这个方向上关闭整个子树，下一次调用将从全局数组中获得结果，并且你只为你的函数做2 * n次调用。

对于节点最终度量是连接到节点的所有边的所有B_count + B_sum的总和。在节点上执行此评估的一次运行，并选择具有最小值的节点。