Question

问题是用自然数对树顶点着色，使得分配给顶点的数字（颜色）总和最小。

这样做的颜色数量是多少？

Answer 1

我认为3种颜色足以做到这一点。如何证明？

不是。用代数方式描述一棵有根树，如下所示。 V是单节点树。 E(t1, t2)是由t1和t2组成的树，以及t1根到t2根的边缘，以t2为根的根源。以下树t3需要四种颜色才能达到最小值156。

t3 = E(t2, E(t2, E(t2, E(t2, t2))))
t2 = E(t1, E(t1, E(t1, E(t1, t1))))
t1 = E(t0, E(t0, E(t0, E(t0, t0))))
t0 = V

基于一些实验，我猜想可以证明这种结构概括，因此没有固定数量的颜色足以达到所有树木的最小值。

定理对于所有d≥k≥3，以下电感构造的树T（d，k）至少需要k种颜色。 T（d，1）是单顶点树。对于我＆gt; 1，T（d，i）是连接到T（d，i - 1）每个顶点的d叶的树。

证明通过感应k。基本情况k = 3基本上是你的例子，其中3种颜色是最佳性所必需的。对于k> 3，考虑仅使用k-1种颜色的T（d，k）的着色。我们展示了如何使用颜色k来改善它。如果某些内部顶点具有颜色1，那么我们通过将其颜色改变为k并改变其d的颜色来改进。 k - 1相邻叶子为1.如果没有间隔顶点有颜色1，而某些叶子的颜色不是1，则将叶子更改为1.如果我们还没有改进，则所有叶子都有颜色1，所有间隔顶点都有颜色＆GT; 1.删除所有叶子并递减标签，我们有T（d，k - 1）的着色，我们可以通过归纳假设来改进。

data Tree = V | E Tree Tree
    deriving (Eq, Show)

otherMinimums [x, y] = [y, x]
otherMinimums (x:xs) = minimum xs : map (min x) (otherMinimums xs)

color m V = [1..m]
color m (E t1 t2) = let
    c1 = color m t1
    c2 = color m t2 in
    zipWith (+) (otherMinimums c1) c2

t3 = E t2 $ E t2 $ E t2 $ E t2 $ t2
t2 = E t1 $ E t1 $ E t1 $ E t1 $ t1
t1 = E t0 $ E t0 $ E t0 $ E t0 $ t0
t0 = V

结果：

> color 3 t3
[157,158,163]
> color 4 t3
[157,158,159,156]

Answer 2

首先，任何树都有2种颜色。为了证明这一点，你可以用替换颜色逐级为树级着色。

其次，逐级着色是唯一有效的双色法。它可以通过水平上的归纳来证明。修复根节点的颜色。然后，它的所有孩子应该有不同的颜色，孩子的孩子 - 第一种颜色，等等。

第三，要选择最佳着色，只需检查两种可能的布局：根节点的颜色为0时，颜色为1的情况。

Answer 3

对于树，您只能使用2种颜色：一种用于具有奇数深度的节点，另一种用于具有均匀深度的节点。

编辑：之前的答案是错误的，因为我不明白这个问题。

如Wobble所示，所需的颜色数量不受限制。

Answer 4

将具有n个节点的树的总和最小化的颜色数限制为O（logn）

E. Kubicka在1989年的论文中对此进行了报道 http://dl.acm.org/citation.cfm?id=75430

Answer 5

使用2种颜色{0,1}着色任何树就足够了，但复杂性将是O（n）。

使用3种颜色{0,1,2}着色任何树就足够了，但复杂性将为O（log *（n））

现在问题是log *（n）

log *（n） - “log Star n”，称为“Iterated logarithm”

简单来说，你可以假设log *（n）= log（log（log（.....（log *（n））））

log *（n）非常强大。

示例：

1） Log *（n）= 5其中n =宇宙中的原子数

2）找到知道欧几里得最小生成树的一组点的Delaunay三角剖分：随机O（n log * n）时间。

着色树与最小的颜色总和

5 个答案: