用最小的颜色着色图形

Question

如果它们之间有n条路径，我想为任何顶点v ₁ 和v ₂ 的着色图形：< / p>

p ₁ =（v ₁ ，p ₁₁ ，p ₁₂ ，v _{2 < / sub>）
p 2 =（v 1 ，p 21 ，p 22 ，v 2 ） ...
p n =（v 1 ，p n1 ，p n2 ，v 2 ）}

（p ₁₁ ，p ₁₂ 是路径的顶点，路径有四个顶点）

p _i 表示路径，p _i1 ，p _i2 是v ₁ 之间的两个顶点v <子> 2 。

必须不存在两条路径p _i 和p _j ，使得c（p _i1 ）= c（p _j1 ）和c（p _i2 ）= c（p _j2 ），其中c（v）表示顶点v的颜色。

简单来说，v ₁ 和v ₂ 之间的路径应该是可区分的。

我们的目标是尽量减少颜色数量。

是否有满足上述条件的着色算法？明星着色绝对满足条件，但需要更多颜色。

Answer 1

这是我的答案，因为我理解你的问题。您正在尝试找出可用于连接 N 2个顶点路径的最小颜色数。

尝试解决相反问题：给定 x 颜色可以生成多少个唯一路径。从问题不清楚第一个和第二个顶点是否可以是相同的颜色，所以我将采取两种可能性：

1. 允许相同的颜色（置换替换）

   给定 x 颜色可以生成最大 x ² 排列。所以 N 路径至少需要√N颜色。

   对于colors = RGB 顶点= RR，RG，RB，GR，GG，GB，BR，BG，BB

2. 不允许相同的颜色（无替换的排列）

   给定 x 颜色可以生成max ^x P ₂ 排列。那是 x ² -x≥N。求解二次不等式将给你

   x ≥（1±√（1 + 4 N ））/ 2

   x = floor（（1 +√（1 + 4 N ））/ 2）

   对于colors = RGB vertices = RG，RB，GR，GB，BR，BG （给出7条路径，你需要4种颜色）