在具有下限的网络中寻找流通

Question

我无法理解如何在网络中找到具有下限（不是需求）的循环流。我发现了下一个带有问题描述和解决策略的文档：

1. https://www.cs.cmu.edu/~ckingsf/bioinfo-lectures/flowext.pdf
2. http://homes.cs.washington.edu/~anderson/iucee/Slides_421_06/Lecture24_25_26.pdf
3. http://web.engr.illinois.edu/~jeffe/teaching/algorithms/2009/notes/18-maxflowext.pdf

让我们考虑一个具有以下边缘的网络（l - 下限，c - 容量）：

1 - ＆gt; 2：l = 1 c = 3

2 - ＆gt; 3：l = 2 c = 4

3 - ＆gt; 1：l = 1 c = 2

据我所知解决问题，我们应该采取下一步措施：

1. 将这个问题转化为需求问题的循环＆＃34;。这可以通过下一个公式dv＆＃39; = dv - （Lin - Lout），其中＆＃39; dv＆＃39;是原始顶点需求（在我们的例子中，它等于零），＆＃39; Lin＆＃39; - 顶点输入边缘下限的总和，以及＆＃39; Lout＆＃39; - 顶点输出边缘下限的总和。
2. 将边缘容量更新为c＆＃39; = c - l
3. 将带有边的源顶点S添加到每个顶点，其中dv＆lt; 0具有容量＆＃39; -dv＆＃39;
4. 使用dv＆gt;添加具有来自每个顶点的边的接收器顶点T. 0具有容量＆＃39; dv＆＃39;
5. 使用任何算法在新网络中查找max-flow，例如Edmonds-Karp算法。
6. 如果最大流量的值等于连接到T的顶点的所有需求的总和，则网络中存在循环。

执行这些步骤后，新网络将是：

S - ＆gt; 2：c = 1

2 - ＆gt; 3：c = 2

3 - ＆gt; T：c = 1

1 - ＆gt; 2：c = 2

3 - ＆gt; 1：c = 1

对顶点的要求：

d1 = 0

d2 = -1

d3 = 1

我们看到最大流量等于1，并且等于T的边缘之和也是1.并且它覆盖边缘A-> 2-> 3-> T。

问题是如何让原始网络中的流通以原始边界流动？

存在原始网络中的循环流 - 我们只需将流量等于2分配给所有边缘。

Answer 1

有点晚了，但在为这个问题找到解决方案时，我偶然发现了这个问题。

如果你这样做，那就是：

1. 您问题中的步骤1和2。
2. 使用dv＆gt;将带有边的顶点S添加到每个顶点0，容量'dv'
3. 添加带有来自每个顶点的边的顶点T，其中dv＆lt; 0容量 '-dv'

在此之后，任何最大流算法找到的解决方案将是：

• S-> 3：c = 1
• 3-> 1：c = 1
• 1-> 2：c = 1
• 2-> T：c = 1



您现在需要做的只是将下限值添加到前面步骤的结果中。在这种情况下：

• 1-> 2：c = 1，l = 1，c + 1 = 2
• 2-> 3：c = 0，l = 2，c + 1 = 2
• 3-> 1：c = 1，l = 1，c + 1 = 2

你有你想要的答案。我希望这有助于某人。