具有下限的网络中的最小流量 - 我做错了什么？

Question

我想解决的问题如下：

给定有向图，找到“覆盖”整个图形的最小路径数。多条路径可能经过相同的顶点，但路径的并集应该都是它们的全部。

对于给定的样本图（见图），结果应为2（1-> 2-> 4，并且1-> 2-> 3足够）。

通过分割顶点并为连接顶点到外顶点的每条边分配下限1，并将源链接到每个顶点和每个外顶点到接收器（它们不是如图所示，因为它会使整个事情变得混乱），现在的问题是如何在图中找到最小流量，并使用下限约束。

但是，我已经读过为了解决这个问题，我必须找到一个可行的流程，然后按如下方式分配容量：C（e）= F（e） - L（e）。但是，通过为每个Source-vertex边缘，vertex-Sink边缘和In-Out边缘分配流量1，可行流程是正确的，并且总流量等于顶点数量。但是通过分配新的容量，输入边缘（标记为蓝色）的容量为0（它们的下限为1，在我们选择可行流量时，它们的流量为1），并且没有流动是可能的。

图。 2：我如何选择“可行流程”

然而，从图中你可以清楚地看到你可以指示一个2流，它足以满足每个“顶点边缘”的下限。

我是否理解最小流量算法错误？错误在哪里？！

Answer 1

一旦你有了可行的流量，你需要通过将流从水槽返回到源来开始“修剪”它，受限于下限和容量限制（实际上只是剩余容量）。为此，在向前方向使用较低的两个黑色边缘，因为它们尚未在它们上方流动。涉及源和接收器的边缘反过来使用，因为我们正在撤消已经存在的流量。如果你从剩余容量方面开始考虑所有这些，那就更有意义了。