最小成本算法+一般图形中的最大匹配

Question

我有一个由节点和边组成的数据集。 节点代表人，边代表他们的关系，每个关系都有一个使用欧氏距离计算的成本。

现在我希望通过它们各自的边缘将这些节点匹配在一起，其中只有一个约束：

• 任何节点只能与单个其他节点匹配。

现在我们知道我正在使用通用图，其中每个节点理论上可以与数据集中的任何节点匹配，只要它们之间有边缘。

我希望做的是找到具有最大匹配率和总体最低成本的解决方案。

Node A
Node B
Node C
Node D

- Edge 1:
Start:       End      Cost
Node A       Node B   0.5

- Edge 2:
Start:       End      Cost
Node B       Node C   1

- Edge 3:
Start:       End      Cost
Node C       Node D   0.5

- Edge 2:
Start:       End      Cost
Node D       Node A   1

此问题的解决方案如下：

• 分配边缘1和边缘3，因为这是最大匹配量（在这种情况下，显然只有2个解决方案，但是其他节点可能有大量的分支边缘）

• 分配边缘1和边缘3，因为它是具有最大匹配量和最小总成本的解决方案（1）

我研究了很多算法，包括匈牙利语，开花，最小成本流程，但我不确定哪种算法最适合这种情况。在两部分图中解决这些问题似乎也有很多材料，在这个问题上并非如此。

所以我问你：

1. 在这种情况下哪种算法最适合返回（a）最大匹配量和（b）最低总成本。

2. 您知道任何好的材料（可能是一些易于理解的伪代码），对于您推荐的算法？我不是数学符号中最强的。

Answer 1

对于（a），最合适的算法（理论上更快的算法，但它们更难以理解）将是Edmonds的Blossom算法。不幸的是它很复杂，但我会尽力解释基础。

基本思想是进行匹配，并通过进行一些局部更改来不断改进（增加匹配节点的数量）。关键概念是交替路径：从不匹配节点到另一个不匹配节点的路径，其边缘在匹配之间交替，并且位于其外部。

如果你有一个交替路径，那么你可以通过翻转交替路径中边缘的状态（无论它们是否在匹配中）来增加匹配的大小。

如果存在交替路径，则匹配不是最大值（因为路径为您提供了增加匹配大小的方法），相反，您可以显示如果没有交替路径，则匹配为最大值。因此，要找到最大匹配，您需要做的就是找到一个交替路径。

在二分图中，这很容易做到（可以使用DFS完成）。在一般图表中，这更复杂，这是Edmonds的Blossom算法的用法。粗略地说：

• 构建一个新的图形，如果你可以通过首先遍历匹配中的边缘，然后遍历边缘而不是从u到v，在两个顶点之间存在边缘。

• 在此图中，尝试查找从不匹配的顶点到具有不匹配邻居的匹配顶点的路径（即原始图中的邻居）。

您找到的路径中的每条边都对应于原始图的两条边（即匹配中的边和不匹配的边），因此路径转换为新图中的交替步行，但这不是必然是交替路径（路径和步行之间的区别是路径只使用每个顶点一次，但是步行可以多次使用每个顶点）。

• 如果步行是路径，则您有一个交替路径并完成。

• 如果没有，那么walk会多次使用一些顶点。您可以在两次访问此顶点之间移除部分步行，并获得一个新图形（删除部分顶点）。在这个新图表中，您必须再次进行整个搜索，如果在新图表中找到交替路径，则可以将其“提升”到原始图表的交替路径。

详细介绍这个（关键的）最后一步对于stackoverflow答案来说有点太多了，但你可以找到关于Wikipedia的更多细节，也许这个高级概述可以帮助你理解更多数学文章。

从头开始实施这将是非常具有挑战性的。

对于加权版本（具有欧几里德距离），有一种更复杂的埃德蒙兹算法可以处理权重。 Kolmogorov提供了C ++实现和相关论文。这也可以用于未加权的情况，所以使用这个实现可能是一个好主意（即使它不在java中，应该有一些方法与它接口）。

由于您的权重是基于欧几里德距离，因此可能会有针对该情况的专门算法，但我上面提到的更通用的版本也可以使用，并且可以实现它。