Question

加法x + x是否可以通过 IEEE 754（IEC 559）浮点标准中的乘法2 * x进行互换，或者更一般地说是case_add可以保证case_mul 1}}和#include <limits> template <typename T> T case_add(T x, size_t n) { static_assert(std::numeric_limits<T>::is_iec559, "invalid type"); T result(x); for (size_t i = 1; i < n; ++i) { result += x; } return result; } template <typename T> T case_mul(T x, size_t n) { static_assert(std::numeric_limits<T>::is_iec559, "invalid type"); return x * static_cast<T>(n); } 总是给出完全相同的结果？

# "Run application specific configuration scripts"
- include: "app_cfg/{{ app_name }}.yml"
  when: "{{ app_conf[app_name].app_cfg }}"
  ignore_errors: no
  tags:
    - conf

Answer 1

加法x + x是否可以通过IEEE 754（IEC 559）浮点标准中的乘法2 * x进行互换

是的，因为它们在数学上都是相同的，所以它们会给出相同的结果（因为结果是精确的浮点数）。

或更一般地说，是否保证case_add和case_mul总能给出完全相同的结果？

一般情况下，不是。据我所知，它似乎适用于n <= 5：

n=3：由于x+x是准确的（即不涉及舍入），因此(x+x)+x只涉及最后一步的四舍五入。
n=4（您正在使用默认的舍入模式），然后
- 如果x的最后一位为0，则x+x+x是准确的，因此结果与n=3的参数相同。
- 如果最后2位是01，那么x+x+x的确切值将具有1|1的最后2位（其中|表示格式中的最后一位），这将是被舍入到0|0。下一个添加将给出一个精确的结果|01，因此结果将向下舍入，取消之前的错误。
- 如果最后2位为11，则x+x+x的确切值将包含0|1的最后2位，其将向下舍入为0|0。下一个添加将给出精确结果|11，因此结果将向上舍入，再次取消之前的错误。
n=5（同样，假设默认舍入）：由于x+x+x+x是准确的，因此与n=3的原因相同。

对于n=6，它失败了，例如取x为1.0000000000000002（double之后的下一个1.0），在这种情况下，6x为6.000000000000002，x+x+x+x+x+x为6.000000000000001

Answer 2

如果n例如pow(2, 54)，那么乘法就可以了，但是在结果值远大于输入x时，在加法路径中，{{1}将产生result += x。

Answer 3

是的，但它并不普遍。乘以高于2的数字可能不会给出相同的结果，因为您更改了指数，如果替换为adds，则可能会略微下降。但是，如果由添加操作替换，则乘以2不会丢失一点。

Answer 4

如果result中的累加器case_add变得太大，添加x会引入舍入错误。在某个时刻，添加x根本不会产生影响。因此，这些功能不会给出相同的结果。

例如，如果double x = 0x1.0000000000001p0（十六进制浮动表示法）：

n  case_add              case_mul

1  0x1.0000000000001p+0  0x1.0000000000001p+0
2  0x1.0000000000001p+1  0x1.0000000000001p+1
3  0x1.8000000000002p+1  0x1.8000000000002p+1
4  0x1.0000000000001p+2  0x1.0000000000001p+2
5  0x1.4000000000001p+2  0x1.4000000000001p+2
6  0x1.8000000000001p+2  0x1.8000000000002p+2

IEEE 754浮点加法和乘法的互换性

4 个答案: