Question

假设 a ， x ， y 是正的IEEE浮点数， x ＆lt; ý。证明 a × x ＆lt; a × y 其中× 表示浮点乘法舍入到最近。

天真地，您可能会认为某些 a 和 x 接近 y ，你会得到 a × x = a × y 。事实证明这一点不可能发生（只要非规范化的数字，无穷大和NaN都是除外）。

我对优雅的证据感兴趣，如果可能的话，我还会对书籍或纸张感兴趣这是给出的。

TAKE 2 ：正如Pascal Cuoq的回复所示，上述陈述是假。 y = 1的限制版本怎么样？这里是要证明的陈述：

假设 a 和 x 是正的IEEE浮点数 x ＆lt; 1.证明 a × x ＆lt; a 其中× 表示浮点乘法舍入到最近。

Answer 1

该属性为false，如下面的C99程序所示，当使用为double和FLT_EVAL_METHOD = 0提供IEEE二进制64的编译器进行编译时：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <float.h>

int main(void) {
  double z = 1.0;
  double y = nextafter(z, 0.0);
  double x = nextafter(y, 0.0);
  double a = 1.0 + 2 * DBL_EPSILON;

  printf("%a %a\n", a*x, a*y);
}

结果：

0x1.0000000000001p+0 0x1.0000000000001p+0

y是1.0的前身，x是y的前身，a是1.0后继者的后继者。 x和y的值位于binade的顶部，其中相对精度最佳，a*x和a*y的值位于他们的底部，相对精度最差。这就是a*x和a*y四舍五入到相同值的方式。

问题中的属性看起来是正确的，因为反例只能在x和y由单个ULP分隔并且a乘以Set<String> uniqueCategories; // global ...... uniqueCategories = new TreeSet<>(); for(Checkout c : checkOutArrayList) { uniqueCategories.add(c.getCategory()); } for (String strGlobalCategory : uniqueCategories) { System.out.println("Unique:"+strGlobalCategory); textVisible.setText(strGlobalCategory); // getting name of last Category only }相对较低的情况下发生。目的地binade比原来的binade。

Answer 2

为您修改后的问题提供正式证据（语言稍有改动）：

假设a和x是带有x < 1的正IEEE浮点数。证明[ax] < a []表示默认浮点舍入。

WLOG，让a进入[1, 2)。如果a为1，则该声明非常正确，因此我们实际上只需要考虑a中的(1,2)。 x < 1表示x <= 1 - u/2，其中u = ulp(1) = ulp(a)。我们有：

ax <= a - au/2

我们还有a > 1，所以au/2 > u/2，所以：

ax <= a - au/2 < a - u/2

由于ax超过a [ax] < a以下的半个ulp，所以SomeUtility(arg => new MyType()); public void SomeUtility<T>(Func<object, T> converter) { var myType = converter("foo"); }。

浮点乘法的严格不等式

2 个答案: