Question

Foo(A,f,l) 
**Precondition: A[f ...l] is an array of integers, f,l are two naturals ≥ 1 with f ≤ l. 
if (f = l) then 
     return A[f]
else 
     m ← floor of((f+l)/2) 
     return min(Foo(A,f,m), Foo(A,m + 1,l)) 
end if

如果我错了，请纠正我，但我认为此代码返回数组的最小整数。但是，如何根据数组A计算出描述时间复杂度的递归关系？你能指导我解决这个问题吗？我甚至不知道从哪里开始。

Answer 1

我们可以从伪代码的结构中恢复的递归关系。我们可以让T(n)表示算法所花费的时间作为输入大小的函数。对于n = 1，时间是不变的，比如T(1) = a。我们现在的问题是n更大，我们如何表达T(n)？

我们将在else的{{1}}条款中。我们做了一些额外的工作 - 让我们称之为n > 1 - 然后调用该函数两次，一次输入大小为b，一次输入大小为floor(n/2)。所以我们可以将这部分递归写为ceiling(n/2)。我们现在可以写出一些条款。

T(n) = b + T(floor(n/2)) + T(ceiling(n/2))

我们发现n T(n) 1 a 2 b + a + a = b + 2a 3 b + b + 2a + a = 2b + 3a 4 b + b + 2a + b + 2a = 3b + 4a 5 b + b + 2a + 2b + 3a = 4b + 5a ... ... k = (k-1)b + (k)a = kb - b + ka = k(a + b) - b对某些常量T(n) = (a + b)n - b和a的猜测取决于我们可能采取的工作量成本不变（请注意计算b在(f + l) / 2方面并不是真正的常数，但它不会改变我们的分析）。我们可以用数学归纳证明这一点：

n是对的;
假设所有T(1) = a = (a + b)(1) - b都是T(n) = (a + b)n - b。
n <= k会举行吗？请记住T(k + 1) = (a + b)(k + 1) - b。假设T(k + 1) = b + T(floor((k+1)/2)) + T(ceiling((k+1)/2)是偶数且k+1。那么T（k + 1）= b + 2T（m）= b + 2 [（a + b）（m） - b] = b + 2（m）（a + b） - 2b =（2m）（a + b） - b =（k + 1）（a + b） - b m = (k+1)/2 k + 1`是奇数留作练习。

这是线性的。

Answer 2

你是对的。它返回数组的最小整数。

复杂性

O(nlog(n)); n = size of the array

Explanation:在每次调用中，您将数组分成两个相等的部分，调用f=l。它为数组中的每个数字调用函数O(log(n))次。因此，总复杂度为O(nlog(n))

如何编写伪代码的递归关系？

2 个答案: