COQ中的Set究竟是什么

Question

我仍然对COQ中 Set 的排序感到困惑。我何时使用设置，何时使用类型？

在Hott中，集被定义为一种类型，其中身份证明是唯一的。 但我认为在Coq中它有不同的解释。

Answer 1

Set在Coq和HoTT中意味着相当不同的东西。

在Coq中，每个对象都有一个类型，包括类型本身。类型类型通常称为排序，种或 Universe 。在Coq中，（计算相关的）Universe是Set和Type_i，其中i的范围超过自然数（0,1,2,3，...）。我们有以下内容：

Set <= Type_0 <= Type_1 <= Type_2 <= ...

这些宇宙的输入方式如下：

 Set : Type_i     for any i

Type_i : Type_j  for any i < j

与Hott一样，需要这种分层以确保逻辑一致性。正如Antal指出的那样，Set的行为大多类似于最小的Type，但有一个例外：当您使用{{1}调用coqtop时，可以将其设为 imprecicative }} 选项。具体而言，这意味着只要-impredicative-set，forall X : Set, A的类型为Set。相比之下，A的类型为forall X : Type_i, A，即使Type_(i + 1)的类型为A。

这种差异的原因在于，由于逻辑悖论，只有这种层次结构的最低级别才能产生不可预测性。然后，您可能想知道为什么Type_i默认情况下不会产生不可预测性。这是因为一个不可预测的Set与排除中间的公理的强烈形式不一致：

Set

这个公理允许你做的是编写可以决定任意命题的函数。请注意，forall P : Prop, {P} + {~ P}. 类型位于{P} + {~ P}，而不是Set。排除的中间词Prop的通常形式不能以相同的方式使用，因为forall P : Prop, P \/ ~ P中的内容无法以计算相关的方式使用。

Answer 2

除了Arthur的回答：

从Set位于层次结构底部的事实

  

由此得出Set是“小”数据类型和函数类型的类型，即其值不直接或间接涉及类型的类型。

这意味着以下内容将失败：

Fail Inductive Ts  : Set :=
  | constrS : Set -> Ts.

出现此错误消息：

  

大型非命题归纳类型必须在Type。

正如消息所示，我们可以使用Type：

进行修改

Inductive Tt : Type :=
  | constrT : Set -> Tt.

参考：

• B. Jacobs撰写的Coq作为形式系统的本质（2013），pdf。