Question

关于Coq（使用Init库）的一个非常基本的问题：术语10的类型为nat，类型nat是归纳定义的：

Inductive nat : Set :=
  | O : nat
  | S : nat -> nat.

Q1。但“10”是S(S(...S(0)...))的“捷径”？

Q2。是否有以下引理的最短（正式）证明？（不使用欧米茄）

Lemma gg : 3 <= 10.
apply le_S.
apply le_S.
apply le_S.
apply le_S.
apply le_S.
apply le_S.
apply le_S.
apply le_n.
Qed.

换句话说，n <= m（只有Peano公理）的证明是否需要指数长度？

Answer 1

Q1：是的。

Q2：你可以使用反射证明技术来消除这些琐碎的大样本。本章解释了您希望如何以及为什么要这样做：

http://adam.chlipala.net/cpdt/html/Reflection.html

Answer 2

A1。右。

A2。据我所知，le（<=）的定义，你必须使用le_S和le_n来构建它的证据。

Inductive le (n : nat) : nat -> Prop :=
    le_n : n <= n | le_S : forall m : nat, n <= m -> n <= S m

...除非你定义一个引理使你的工作更轻松。

您可以这样做：

Lemma gg : 3 <= 10.
Proof.
  do 7 (apply le_S).
  apply le_n.
Qed.

......或

Lemma gg' : 3 <= 10.
Proof. repeat constructor. Qed.

......或者反过来说：

Lemma le_s : forall n m, n <= m -> S n <= S m.
Proof.
  intros. induction H. constructor.
  constructor. apply IHle.
Qed.

Lemma gg'' : 3 <= 10.
Proof.
  pose proof (le_n 0).
  do 3 (apply le_s in H).
  do 7 (apply le_S in H).
  apply H.
Qed.

Answer 3

以下是Ptival回答的一个例子。

Require Import Coq.Arith.Arith.

Check @eq_refl.
Check leb_complete.

Goal 3 <= 10. Proof. apply leb_complete. apply eq_refl. Qed.

Goal 30 <= 100. Proof. apply leb_complete. apply eq_refl. Qed.

Goal 300 <= 1000. Proof. apply leb_complete. apply eq_refl. Qed.

来想一想，omega也不是一种反思的证据吗？或者它是否在OCaml中编程？

Coq中的术语“10”到底是什么？

3 个答案: