Coq中的构造函数是什么？

Question

我无法理解构造函数的原理及其工作原理。

例如，在Coq中，我们被教导如下定义自然数：

Inductive nat : Type :=
   | O : nat
   | S : nat -> nat.

有人告诉S是一个构造函数，但究竟是什么意思呢？

如果我这样做：

Check (S (S (S (S O)))).

我认为它是4且类型为nat。

这是如何工作的，以及Coq如何知道(S (S (S (S O))))代表4？

我猜这个问题的答案是Coq中一些非常聪明的背景魔法。

Answer 1

Inductive naturals : Type :=
   | Z : naturals
   | N : naturals -> naturals.

说以下内容：

1. Z是naturals

类型的术语

2. 当e是naturals类型的字词时，N e是naturals类型的字词。

3. 应用Z或N是创建自然的唯一两种方法。当给予任意自然时，你知道它是由一个或另一个制成的。

4. 类型e1的两个词e2和naturals当且仅当它们都是Z或者它们分别是N t1时才相等和N t2 t1等于t2。

您可以看到这些规则如何推广到任意归纳类型定义。通常，在t类型的任意归纳类型定义中：

• 将构造函数应用于正确类型的参数会生成类型为t;
的术语
• t类型的任何术语都是应用其中一个与t类型相关联的构造函数的结果;换句话说，给定t类型的术语，可以假设它是应用t的构造函数之一的结果;
• 类型t的两个术语只有在将相同的构造函数应用于相同的参数时才会相等。

（旁注：当类型定义适用于Z和N形状的构造函数时，这些属性或多或少准确对应自然数Peano's axioms。这就是为什么名为nat的类型是在Coq中预先定义的，这些形状的构造函数用于表示自然数。这种类型接受特殊处理，因为它很快就很难操纵原始形式，但特殊处理只在那里为方便起见。）

Answer 2

在类型理论中，（类型）构造函数只是一种从现有类型（http://en.wikipedia.org/wiki/Type_constructor）构造新类型的方法。

在nat的归纳定义中，S是构造函数，因为（如果你看签名）它需要一个nat并产生另一个nat。

例如，一对nat的类型构造函数将是：

Inductive pair : Type := P: nat->nat->pair.

Check P (S (O)) (S(S(O))).