Question

我对下面h定义中证明词的匹配部分的Coq类型系统的行为感到困惑：

Set Implicit Arguments.
Definition h := fun (a b : nat) (e : a = b) =>
(fun (x y : nat)(HC : b = y)(H : x = y) =>
(match H in (_ = y0) return (b = y0 -> b = x) with
| @eq_refl _ _ => fun HC0 : b = x => HC0
end HC)) a b (eq_refl b) e.

检查h告诉我们整体类型是＆＃34; forall a b：nat，a = b - ＆gt; b = a＆＃34;。

由于H的类型是x = y，看起来匹配将返回类型为b = y的项 - ＆gt;由于return子句，b = x。应用后面的各种术语后，我们得到h的预期类型。

但是，有趣的是HC0：b = x =＆gt; HC0是b = x - >的类型的同一性函数。 b = x。我不相信有强迫b = x - >的任何强制行为。 b = x被识别为类型b = y - ＆gt; b = x。

我最好的猜测是H的构造函数是x = x的@eq_refl nat x，它是唯一的。由于H也是x = y类型，因此名称x和y绑定到相同的术语。因此，类型系统决定b = x - > b = x的类型为b = y - > b = x。这很接近吗？这种行为是在某处解释或记录的吗？我看了iota减少，但我不认为这是正确的。

Answer 1

这就是它。记录了这种行为（在the manual中查找“匹配......与......结构”），虽然理解那里发生的事情可能有点令人生畏。

首先，回想一下在Coq中检查典型match的方法：

Inductive list (T : Type) :=
| nil : list T
| cons : T -> list T -> list T.

Definition tail (T : Type) (l : list T) : list T :=
  match l with 
  | nil       => nil
  | cons x l' => l'
  end.

Coq检查（1）list类型的每个构造函数在match中都有对应的分支，（2）每个分支具有相同的类型（在这种情况下，{{1假设每个分支中引入的构造函数参数具有适当的类型（这里假设list T具有类型x而T在第二个分支中具有类型l' ）。

在这种简单的情况下，用于检查每个分支的类型与整个匹配表达式的类型完全相同。但是， not 始终为true：有时，Coq根据从正在检查的分支中提取的信息使用更专业的类型。在对索引归纳类型进行案例分析时经常会发生这种情况，例如list T：

eq

（Inductive eq (T : Type) (x : T) : T -> Prop := | eq_refl : eq T x x.表示法只是=的中缀语法糖。）

赋予冒号右侧的归纳类型的参数在Coq中是特殊的：它们被称为 indices 。出现在左侧的那些（在本例中为eq和T）称为参数。参数在归纳类型的声明中必须全部不同，并且必须与所有构造函数的结果中使用的参数完全匹配。例如，请考虑以下非法代码段：

Coq拒绝此示例，因为它在Inductive eq' (T : Type) (x : T) : T -> Type := | eq_refl' : eq nat 4 3.构造函数的结果中找到了nat而不是T。

另一方面，

指数不具有此限制：出现在构造函数的返回类型上的索引可以是适当类型的任何表达式。此外，该表达式可能因我们所在的构造函数而异。因此，Coq允许每个分支的返回类型根据每个分支的索引的选择而变化。请考虑原始示例的以下略微简化版本。

eq_refl'

由于Definition h (a b : nat) (e : a = b) : b = a := match e in _ = x return x = a with | eq_refl => eq_refl : a = a end.的第二个参数是索引，因此它原则上可以根据使用的构造函数而变化。由于我们只在查看使用的构造函数时才发现该索引实际是什么，因此Coq允许匹配的返回类型依赖于该索引：匹配的eq子句为所有索引提供名称一个归纳类型，这些名称成为可以在in子句中使用的绑定变量。

在键入分支时，Coq会找出索引的值，并将这些值替换为return子句中声明的变量。此匹配只有一个分支，该分支强制索引等于in类型中的第二个参数（在本例中为e）。因此，Coq尝试确保该分支的类型为a（即a = a，x = a替换a）。因此，我们可以简单地提供x，我们就完成了。

现在Coq检查了所有分支都是正确的，它为整个匹配表达式分配了eq_refl : a = a子句的类型，其中return的索引替换为e。此变量x的类型为e，索引为a = b，因此结果类型为b（即b = a x = a取代b）。

This answer提供了有关参数和索引之间差异的更多解释，如果有帮助的话。

在这个例子中，Coq的类型系统是做什么的？

1 个答案: