对所有k，n ^ k是否为O（2 ^ n）？

Question

对于所有k，n ^ k是否为O（2 ^ n）是真的吗？

我真的想知道这个上限是否正确。我们可以说n ^ 2是O（n ^ 3），因为n ^ 2＆lt; c * n ^ 3，其中c是常数。因此，我可以说n ^ k＆lt; c * 2 ^ n，对于k的所有值？

Answer 1

要显示c的任何常量k始终存在常量n^k < c * 2^n，请考虑以下事项：(n+1)^k / n^k = ((n+1)/n)^k。随着n增加，(n+1)/n趋于1，因此((n+1)/n)^k趋向于1.这意味着值之间的相对增加会随着n的增加而减少。

现在考虑2^(n+1) / 2^n。这显然是2。因此，相对增加保持与n增加相同。因此，每个c都会有k个n^k < c * 2^n