寻找协方差矩阵的特征向量来创建三维边界球

Question

我目前正在编写一个函数来为3D空间中的一组点找到“精确”的边界球体。我认为到目前为止我对这个过程有一个很好的理解，但我已经卡住了。

以下是我正在使用的内容： A）3D空间中的点 B）存储在4x4矩阵类中的3x3协方差矩阵（由单元格m0，m1，m2，m3，m4，ect引用;而不是行和列）

我已经找到了点的协方差矩阵的3个特征值，并且我已经建立了一个函数，通过高斯消元法将矩阵转换为精简行梯形（rref）。

我已经在网上找到的示例中对这两个函数进行了测试，看起来它们运行正常。

下一步是使用以下等式找到特征向量： （M - λ* I）* V

...其中M是协方差矩阵，λ是特征值之一，I是单位矩阵，V是特征向量。

然而，我似乎没有在rref之前正确构造4x3矩阵，因为在运行rref之前和之后应该计算特征向量分量的最右列是0。我理解为什么它们之后为零（没有任何常数，线性方程组的最简单解是所有系数为零），但是我不知道该放在那里。

这是迄今为止的功能：

Vect eigenVector(const Matrix &M, const float eval) {
   Matrix A = Matrix(M);
   A -= Matrix(IDENTITY)*eval;
   A.rref();
   return Vect(A[m3],A[m7],A[m11]);
}

3x3协方差矩阵作为M传递，特征值作为eval传递。 Matrix（IDENTITY）返回一个单位矩阵。 m3，m7和m11对应于4x3矩阵的最右列。

以下是我用来测试函数的示例3x3矩阵（存储在4x4矩阵类中）：

Matrix(1.5f, 0.5f, 0.75f, 0,
       0.5f, 0.5f, 0.25f, 0,
      0.75f, 0.25f, 0.5f, 0,
          0,     0,    0, 0);

我正确地（？）从我的其他函数中得到2.097,0.3055,0.09756的特征值。

上面的eigenVector（）正确地从对角线（0,0 1,1 2,2）中减去传递的特征值

rref（）之后的矩阵A：

[(1, 0, 0, -0),
(-0, 1, 0, -0),
(-0, -0, 1, -0),
(0, 0, 0, -2.09694)]

对于rref（）函数，我正在使用这里找到的翻译python函数： http://elonen.iki.fi/code/misc-notes/python-gaussj/index.html

我传递给rref（）的矩阵应该是什么样才能得到一个特征向量？

由于

Answer 1

（M - λI）V不是一个等式，它只是一个表达式。但是，（M-λI）V = 0。它是将特征向量与特征值联系起来的等式。

假设你的rref函数有效，我会想象你创建一个增强矩阵为[(M - λI) | 0]，其中0表示零向量。这听起来就像你已经在做的那样，所以我不得不假设你的rref功能被打破了。或者，它不知道如何处理4x4矩阵（而不是4x3矩阵，这是增益矩阵的预期）。

Answer 2

啊，经过几个小时的艰苦研究，我已经设法解决了我的问题。

问题在于没有“一组”特征向量，而是具有不同幅度的无限数。

我选择的方法是使用REF（行梯形形式）而不是RREF，在矩阵中留下足够的信息以允许我用z替换任意值，然后向后求解y和x。然后我将矢量标准化以获得单位特征向量，这应该适用于我的目的。

我的最终代码：

Vect eigenVector(const Matrix &M, const float eVal) {
   Matrix A = Matrix(M);
   A -= Matrix(IDENTITY)*eVal;
   A.ref();
   float K = 16; // Arbitrary value
   float J = -K*A[m6]; // Substitute in K to find J
   float I = -K*A[m2]-J*A[m1]; // Substitute in K and J to find I

   Vect eVec = Vect(I,J,K);
   eVec.norm(); // Normalize eigenvector

   return eVec;
}

唯一奇怪的是，特征向量面向的方向与我预期相反（它们被否定了！），但这是一个没有实际意义的问题。