拟阵的所有最大独立集都具有相同的基数

Question

如何证明拟阵的所有最大独立集具有相同的基数。

假设一个matroid是一个2元组（M，J），其中M是一个有限集，J是一个 满足以下条件的M的一些子集的族 属性：

1. 如果A是B的子集，B属于J，那么A属于J，
2. 如果A，B属于J，| A | ＆lt; = | B |，x属于A - B， 然后存在y属于B - A，使得（B U {x}） - {y}属于J.

J的成员称为独立集。

Answer 1

相反，假设 | A | ＆LT; | B | 和 A 不最大程度上独立。

考虑以下维恩图

显然 B \ A （唯一的蓝色部分）是非空的，因为 B 的基数大于 A 的基数。另外，显然 A \ B （唯一的橙色部分）是非空的，否则A⊂B，根据定义， A 是最大独立。

因此，通过交换属性，有一些x∈A\ B，y∈B\ A ，这样B∪{x} \ {y}∈J C 。请注意，如果我们为 A 和 C 绘制维恩图（现在蓝色圆圈是 C ）：

1. | B | = | C | （蓝色圆圈的大小相同）

2. |（A \ {x}）\ C | ＆LT; | A \ B | （唯一的橙色部分比以前小）

现在我们可以重复关于 A 和 C 的论点，依此类推。但是请注意，我们无法无限期地重复它，因为假设 A 是有限的。因此，在某些时候，我们将达到这样的矛盾：橙色集合完全包含在蓝色集合中，我们之前已经看过这个集合是不可能的（根据定义，这意味着它不是最大的独立性）。

Answer 2

我们将使用矛盾证明来做到这一点。 让我们假设拟阵的所有最大独立集都没有相同的基数。 因此必须有一些集合A和集合B，以便两者都是最大独立集合。没有 失去一般性让我们采取j A j＆lt; j B j即A的基数小于B的基数。 令j A j = P并且j B j = Q，P <问：现在让X 2 A-B和Y 2 B-A。 X和Y将永远存在 因为A是最大的而且不同于B.使用Matroid的第二个属性我们可以制作B1 = f B [X g - f y g，它也是独立的集合，j B1 j = Q.我们可以继续挑选 来自X'2 A-Bi的元素和来自Y'2 Bi-A的元素和插入X'并去除Y'以制备a 具有基数Q的新独立集，直到A-Bi中没有元素。 因为A-Bi =因此A Bi。但是Bi也是和基数Q一样独立设定。现在我们可以 说A不是最大的，这是一个矛盾，因此我们的假设是错误的。因此，j j = j B j意味着不存在两个具有不同基数的最大独立集。 因此，拟阵的所有最大独立集都具有相同的基数。