Question

我无法找到这个问题的完整答案。我试图解决类似的方程系统：

r_Aus <- 8.7 + r_Fra + r_Ser + r_USA
r_Fra <- 2.7 + r_Aus + r_Chi + r_Ser
r_USA <- 37 + r_Chi + r_Ven + r_Aus
r_Chi <- -29.7 + r_USA + r_Fra + r_Ven
r_Ser <- 2.7 + r_Ven + r_Aus + r_Fra
r_Ven <- -21.3 + r_Ser + r_USA + r_Chi

我如何解决每个国家/地区的变量？

Answer 1

<强>制备

我们首先以矩阵形式A * x = b表达您的线性系统。如果您不清楚如何执行此操作，请阅读General forms。对于您的示例，您可以将其表达为：

## x = r_Aus, r_Chi, r_Fra, r_Ser, r_USA, r_Ven
  r_Aus         - r_Fra - r_Ser - r_USA         =  8.7
- r_Aus - r_Chi + r_Fra - r_Ser                 =  2.7
- r_Aus - r_Chi                 + r_USA - r_Ven =  37
        + r_Chi - r_Fra         - r_USA - r_Ven = -29.7
- r_Aus         - r_Fra + r_Ser         - r_Ven =  2.7
        - r_Chi         - r_Ser - r_USA + r_Ven = -21.3

然后定义系数矩阵A和RHS向量b：

A <- matrix(c( 1,  0, -1, -1, -1,  0,
              -1, -1,  1, -1,  0,  0,
              -1, -1,  0,  0,  1, -1,
               0,  1, -1,  0, -1, -1,
              -1,  0, -1,  1,  0, -1,
               0, -1,  0, -1, -1,  1),
            nrow = 6, ncol = 6, byrow = TRUE)

b <- as.matrix(c(8.7, 2.7, 37, -29.7, 2.7, -21.3))

尝试solve()

我们几乎总是首先考虑solve。但是solve()基于LU分解，并且需要满秩系数矩阵A;当A被发现排名不足时，LU分解符合0对角元素并且失败。让我们试试你的A和b：

solve(A, b)
#Error in solve.default(A, b) : 
#  Lapack routine dgesv: system is exactly singular: U[6,6] = 0

U[0,0] = 0告诉您，您的A只有5级。

稳定的方法：QR分解

已知QR分解是一种非常稳定的方法。我们可以使用.lm.fit()来执行此操作：

x <- .lm.fit(A, b)
x$coef
# [1]   4.783333  -5.600000 -21.450000 -18.650000  40.866667   0.000000
x$rank
# [1] 5

您的系统的等级为5，因此执行最小二乘拟合。第6个值r_Ven被约束为0，并且没有任何方程式完全满足。 x$resi会为您提供残差，即b - A %*% x$beta。

高斯消除

为了完成图片，我不得不提到高斯消除。 理论上这是最好的方法，因为您可以确定是否：

有一个独特的解决方案;
没有解决方案;
有无限多的解决方案

以及解决线性系统。

周围有一个小R包optR，但正如我发现的那样，它并没有做得很完美。

#install.packages("optR")
library(optR)

?optR给出一个完整的线性系统作为一个例子，当然可以正常工作（简单地使用solve(A, b)也可以工作！）。但对于排名为5的系统，它给出了：

optR(A, b, method="gauss")

call: 
optR.default(x = A, y = b, method = "gauss")

 Coefficients: 
           [,1]
[1,]   9.466667
[2,] -24.333333
[3,] -16.766667
[4,]  -4.600000
[5,]  22.133333
[6,]   0.000000
Warning messages:
1: In opt.matrix.reorder(A, tol) : Singular Matrix
2: In opt.matrix.reorder(A, tol) : Singular Matrix

请注意线性系统缺乏排名的警告消息。要了解optR在这种情况下的作用，请将b与

A %*% x$beta
#      [,1]
#[1,]   8.7
#[2,]   2.7
#[3,]  37.0
#[4,] -29.7
#[5,]   2.7
#[6,]   6.8

除了第6个以外，满足前5个方程。因此，optR放弃了你的最后一个等式来解决等级缺陷问题，而不是做最小二乘拟合。

我该如何解决这个线性方程组？

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