是否有线性时间算法来查找有向图中不同闭合路径的数量？
伪代码解释就足够了。
答案 0 :(得分：1)
在下文中，“循环”总是指“简单循环” - 即，每个相邻顶点对通过原始图G中的边连接的顶点序列，第一个和最后一个顶点相等，并且序列中的每个其他顶点最多只能处理一次。
经过一番观察后，我发现了一个证明这个问题是NP难的 - 所以不仅没有人知道在线性时间内解决它的方法，没有人知道在多项式中解决它的方法时间。
我发现的证据是在p。 http://www.cs.umd.edu/~jkatz/complexity/f11/lecture23.pdf中的2个，与this answer on Quora链接。
我会解释并稍微扩展一下（我不明白为什么他们在这里写“n ^ n”为“2 ^（n log n）”）：
假设我们有一个有向图G，我们想知道G是否包含哈密顿循环。如果我们有一个多项式时间来解决你的问题（计算有向图中简单周期的数量），我们可以在多项式时间内解决这个已知的NP难问题，如下所示：
从G中构建一个新的图G'，取G中的每个边（u，v），并将其替换为“小工具”，从而创建从u到v的n ^ n个不同路径。这可以通过以下方式完成： G中的每个边（u，v）在G'中形成n ^ 2个新顶点的n×n网格，将u连接到第一行中的n个顶点中的每一个，这些n个顶点中的每一个都连接到每个顶点。下一行中的n个顶点（对于n ^ 2个第一行到第二行的边），第二行中的每个顶点到第三行中的每个顶点，依此类推，直到第n行和最后一行行。将最后一行中的每个顶点连接到v。我们可以通过这些顶点以完全不同的方式从u到v：在n行中的每一行上，我们可以选择该行中n个顶点中的任何一个从u到v的路径。很明显，这个小工具有多项式大小（n ^ 2个顶点和（n-1）n ^ 2 + 2n个边），我们最多需要n ^ 2个副本（每个边缘一个） G）所以G'也是如此。我们将这个构造的图G'提供给任何用于计算有向图中的有向循环的算法，并使用该答案来确定G是否具有哈密顿循环。
首先，假设G具有哈密顿循环。然后，该哈密顿量的周期具有n个边缘，因此它在G'中对应于（n ^ n）^ n个不同的周期，因此在G'中至少存在这么多个周期。 （可能会有更多，与G中存在的其他周期相对应，但这并不重要。）
OTOH，假设G没有哈密顿循环。然后它可以具有的最长循环具有长度n-1，并且它可以具有的循环的最大数由n ^（n-1）上限。要注意这一点，请注意，任何长度最多为n-1的循环都可以写为n-1个数字的序列，每个数字在1到n的范围内，通过查找循环中编号最小的顶点，将其写下来，以及然后在循环中写下每个连续的顶点，直到再次到达原始顶点，此时我们可以（比方说）继续写下原始顶点的数字，直到我们总共记下n-1个数字。每个循环产生一个n-1个数的独特向量，并且最多有n ^（n-1）个这样的向量，因此在G中最多可以有n ^（n-1）个不同的循环。我们现在可以计算G'中循环次数的上限：由于G中的单个循环最多可以有n-1个边，它最多可以产生（n ^ n）^ （n-1）个循环在G';并且由于G中最多可以有n ^（n-1）个不同的周期，因此G'中最多可以有n ^（n-1）*（n ^ n）^（n-1）个周期。但这简化为n ^（n ^ 2-n）* n ^（n-1）并从那里简化为n ^（n ^ 2-1），这显然严格小于n ^（n ^ 2）。 / p>
因此我们可以判断G是否具有汉密尔顿循环，通过将G'提供给用于计算有向图中的循环的算法并查看答案：如果它至少为n ^（n ^ 2）则G具有哈密顿循环，如果它低于n ^（n ^ 2），那么G没有哈密顿循环。因此，如果存在用于计算有向图中的循环的多项式时间算法，我们还可以在多项式时间内求解哈密顿循环（以及所有其他NP完全问题）。