快速排序的空间复杂性

Question

我已经了解到，没有Sedgewick消除尾递归的技巧，快速排序的空间复杂度是O（n）。但是如果我们跟踪存储的堆栈上的调用，则在任何调用时都是O（log n）步骤，如图所示。

在图中，

在计算（1,1）的值时，我们存储[（1,8），（1,4），（1,2）]的调用，

在计算（3,3）的值时，我们存储[（1,8），（1,4），（3,4）]的调用等等

仅在蚂蚁时间点构成O（log n）空间。然后复杂性变成O（n）？

Answer 1

在上面给出的树例子中，您展示了一系列快速排序，总是碰巧选择精确的中间元素作为每一步的分裂点。这使得递归深度为O（log n），因此，正如您所指出的，即使没有优化，空间使用也将是O（log n）。

但是如果你得到一个糟糕的快速排序会发生什么？也就是说，如果你总是选择阵列的绝对最大或绝对最小元素作为每个点的枢轴，会发生什么？然后你的递归树看起来像这样：

    size n
       \
       size n-1
         \
         size n-2
           \
            ...
             \
              1

现在你的递归树有高度Θ（n），所以如果实现没有任何尾调用消除，quicksort将使用Θ（n）空间，每个点有效递归调用一个。