Question

我是一位刚开始习惯于Isabelle的数学家，而且应该非常简单的事情变得令人沮丧。如何在两个常量之间定义函数？比方说，函数f：{1,2,3} \到{1,2,4}映射1到1,2到4和3到2？

我想我设法将这些集合定义为常量t1和t2而没有发生意外，但是（我猜因为它们不是数据类型）我不能尝试像

这样的东西

    definition f ::"t1 => t2" where 
"f 1 = 1" |
"f 2 = 4" | 
"f 3 = 2"

我认为这种困难背后肯定存在一个根本的误解，所以我很感激任何指导。

Answer 1

您的问题有很多方面。

首先，要快速开展工作，请使用fun关键字而不是definition，如下所示：

fun test :: "nat ⇒ nat" where
  "test (Suc 0) = 1" |
  "test (Suc (Suc 0)) = 4" |
  "test (Suc (Suc (Suc 0))) = 2" |
  "test _ = undefined"

您不能使用definition关键字直接在定义的标题中对任何参数进行模式匹配，而您可以使用fun。另请注意，我已在模式匹配中使用nat数据类型（0和Suc）的构造函数替换了重载的数字文字（1,2,3等）。 / p>

另一种方法是坚持使用definition，但是使用case语句将函数的参数的案例分析推送到定义的正文中，如下所示：

definition test2 :: "nat ⇒ nat" where
  "test2 x ≡
     case x of
       (Suc 0) ⇒ 1
     | (Suc (Suc 0)) ⇒ 4
     | (Suc (Suc (Suc 0))) ⇒ 2
     | _ ⇒ undefined"

请注意，默认情况下，简化器不会展开test2之类的定义，如果要扩展出现的情况，则需要手动将定理test2_def添加到简化器的simpset中证明中test2。

您还可以使用typedef定义与您的两个三元素集相对应的新类型（您不能直接使用集合作为类型），但我个人会坚持使用{{1 }}

编辑：要使用nat，请执行以下操作：

typedef

尽管如此，我自己并没有真正使用typedef t1 = "{x::nat. x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3}" by auto definition test :: "t1 ⇒ t1" where "test x ≡ case (Rep_t1 x) of | Suc 0 ⇒ Abs_t1 1 | Suc (Suc 0) ⇒ Abs_t1 4 | Suc (Suc (Suc 0)) ⇒ Abs_t1 2"，所以这可能不是使用它的最佳方式，而其他人可能会提出其他方式。 typedef所做的是通过识别新类型的非空居民来从现有类型中创建新类型。证明义务，这里由typedef结束，仅仅是为了证明新类型的定义集确实是非空的，在这种情况下，我将一个三元素的自然集合划分为一个新类型，称为auto，所以证明是相当微不足道的。创建了两个新常量t1和Abs_t1，它们允许您在自然和新类型之间来回移动。如果您在Rep_t1命令后放置print_theorems，您会看到Isabelle为您自动生成的有关typedef的几个新定理。

在Isabelle

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