假设我们在R ^ p中有一个数据向量 z ，在R ^（p * N）中有一个训练数据矩阵 X ，其中N（N> p）是训练数据矩阵中的样本数。
如果我们想要找到 z 投影到 X 列所跨越的线性子空间，那么我们可以解决以下无约束问题< / p>
min || z - X b || ^ 2.
b 的最小平方估计是（ X X ＆＃39;）^ - 1 X 的ž即可。因此， z 对子空间的投影可以写成 X （ X X ＆＃39;）^ -1 X z = P z 。 P = X （ X X ＆＃39;）^ - 1 X 是一个满足 P ＆＃39;的投影矩阵。 = P 和 P ^ 2 = P 。
如果我们将非负约束添加到 b ，则上述优化问题变为
min || z - X b || ^ 2，s.t。 b 中的每个元素都是非负的。
拉格朗日是|| z - X b || ^ 2 - v ^ T b ，其中 v 是一个N维向量。将拉格朗日wrt b 的一阶导数设置为零，我们发现 b 的估计:( X X ＆＃39;）^ - 1（ X ＆＃39; z + 1/2 v ）。因此， z 对子空间的投影是 X （ X X ＆＃39;）^ - 1（ X ＆＃39; z + 1/2 v ）。
我现在的问题可以描述如下。
是否有任何方法可以近似投影 X （ X X ＆＃39;）^ - 1（ X ＆＃39; z + 1/2 v ）使用 P z ，其中 P 是满足 P ＆＃39;的投影矩阵。 = P 和 P ^ 2 = P ？我如何估计 P ？
提前致谢！