旋转矩阵对于给定的旋转是唯一的吗？

Question

我找到了两个旋转矩阵

rot1 = [    0.8736    0.2915   -0.3897;
           -0.4011    0.8848   -0.2373;
            0.2756    0.3636    0.8898]

rot2 = [    0.9874   -0.1420   -0.0700;
            0.0700    0.7880   -0.6117;
            0.1420    0.5991    0.7880]

乘以向量

wpt = [200 200 200] 

产生相同的结果

cpt = [155.0812 49.2660 305.8148] 

任何人都能解释一下吗？

Answer 1

你实际上在这里问了两个问题。

旋转矩阵是唯一的吗？

是的，正如弗朗西斯科所引用的this answer所解释的那样。如果它们不是唯一的，则 Q v = R v 因此（Q-R）* v = 0 对于任何向量都是如此。然而，后者仅适用于空矩阵。

您可以帮助您查看两个旋转的角度轴表示，看它们是不相同的（格式是x，y，z和角度）：

>> vrrotmat2vec(rot1)

    0.5304   -0.5873   -0.6114    0.6022

>> vrrotmat2vec(rot2)

    0.9707   -0.1700    0.1700    0.6734

或者，您可以查看旋转矩阵的每一行，它们表示旋转空间的单位矢量，并看到它们彼此不同。 （source，属性3和4）

为什么这两个旋转矩阵为这个向量提供相同的结果？

因为一个点可以通过无限多次旋转映射到另一个点。对于围绕同一中心的任何两个旋转，一些点*最终移动到相同的位置。如果你愿意，rot1和rot2将你的点wpt沿着3D空间中的不同旋转弧移动到cpt。

由于这个图在2D中确实没什么用处，你似乎可以访问MATLAB，你可以自己生成图形并用这个代码来平移它：

vr1 = vrrotmat2vec(rot1);
vr2 = vrrotmat2vec(rot2);
v = [1;1;1];
arc1 = [];
arc2 = [];
for i = 1:50
    a = vrrotvec2mat([vr1(1:3) i*vr1(4)/50]);
    arc1 = [arc1; (a*v)'];
    a = vrrotvec2mat([vr2(1:3) i*vr2(4)/50]);
    arc2 = [arc2; (a*v)'];
end

%% Drawing
% Arcs
plot3(arc1(:,1), arc1(:,2), arc1(:,3))
hold on
plot3(arc2(:,1), arc2(:,2), arc2(:,3))

% Unit vectors
arrow([0 0 0], [1 0 0]);
arrow([0 0 0], [0 1 0]);
arrow([0 0 0], [0 0 1]);

% Rotation axes
arrow([0 0 0], vr1(1:3), 'EdgeColor','b','FaceColor','g');
arrow([0 0 0], vr2(1:3), 'EdgeColor','r','FaceColor','g');

axis square

*我猜这些点恰好在两条线上，但我无法支持它。

Answer 2

非唯一性意味着等式rot1 * v = rot2 * v适用于每个向量v。请参阅this other answer