在给定描述变换矩阵的情况下将不同的变换应用于多边形

Question

我有一个2D多边形和一个2D变换矩阵 M ，我用它来变换多边形的顶点。矩阵可以描述......

• 围绕 z 轴旋转，
• 缩放 x 和 y ，
• 沿着 x 和 y 轴，
• 沿 x 和 y 轴进行翻译。

由于我们处于2D状态，因此转换矩阵的类型为 3x3 。这里以矢量 t 为基础的转换矩阵和按角度 a 的转换：

M_t = |1 0 t2|       M_r = | cos(a) sin(a)  0|
      |0 1 t1|             |-sin(a) cos(a)  0|
      |0 0 1 |             |   0      0     1|

在我的自定义框架中，我无法访问矩阵值，但可以连续应用其他矩阵：

vertice = ( M_r * M_t ) * vertice

上面的公式将顶点围绕（0,0）旋转角度 a ，然后按矢量 t <进行平移/ strong>即可。我知道矩阵乘法不是可交换的。所以乘法的顺序很重要。

我的问题现在我想获得一个转换矩阵 N ，它反映了一个轮换 R M 即可。换句话说：我想旋转和平移多边形相对于 M 给出的位置和旋转。

我可以想象这样做的方式，将未知的旋转和翻译作为 M 的一部分：

N = R * M * T

我的问题是：

• 这在数学上是否正确？
• 作为 M 的一部分，未知的剪切和缩放怎么样？
• 有更好的方法吗？