将复杂的矩阵变换分解为一系列简单的变换？

Question

我想知道是否有可能（以及如果是这样）将任意M3矩阵变换重新呈现为一系列更简单的变换（例如平移，缩放，倾斜，旋转）

换句话说：如何从MComplex计算MTranslate，MScale，MRotate，MSkew矩阵，以便下列公式为真：

MComplex = MTranslate * MScale * MRotate * MSkew（或其他顺序）

Answer 1

Singular Value Decomposition（另见this blog和此PDF）。它将任意矩阵转换为3个矩阵的组合：正交+对角线+正交。正交矩阵是旋转矩阵;对角矩阵表示沿主轴的倾斜=缩放。

翻译会将一个猴子扳手投入到游戏中，但你应该做的是取出矩阵的平移部分，这样你就有一个3x3矩阵，在它上面运行SVD给你旋转+倾斜，然后添加翻译这样你将有一个旋转+比例+旋转+翻译4个矩阵的组合。可能有可能在3个矩阵中进行此操作（旋转+沿某些轴组的缩放+平移）但我不确定如何...可能是QR分解（Q =正交=旋转，但我不确定是否R只是倾斜或有旋转部分。）

Answer 2

是的，但解决方案不会是唯一的。你也应该把翻译放在最后（其余的顺序无关紧要）

对于任何给定的方阵A，存在无限多个矩阵B和C，以便A = B*C。选择任何可逆矩阵B（这意味着B ^ -1存在或det（B）！= 0）和现在C = B^-1*A。

因此，对于您的解决方案，首先将MC分解为MT和MS*MR*MSk*I，选择MT作为一些可逆转置矩阵。然后将其余部分分解为MS和MR*MSk*I，以便MS是任意缩放矩阵。等等...

现在，如果在乐趣I结尾处是一个单位矩阵（对角线为1，其他地方为0），那么你就是好的。如果不是，请重新开始，但选择不同的矩阵;-)

事实上，使用上面的方法可以象征性地创建一组方程式，它们将为您提供所有这些矩阵的参数化公式。

这些分解对你有多大帮助 - 那是另一个故事。

如果您将此键入 Mathematica 或 Maxima ，他们会立即为您计算。