Question

不确定这是否是适合此类问题的地方，但现在就这样了。给出以下代码，有多少基本操作，以及每个操作执行了多少次。这个运行时间的最大符号是什么？如果重要的话，这是在MATLAB中。

total = 0;

for i = 1:n
    for j = 1:n
        total = total + j;
    end
end

我的想法是，对于每个n，j = 1：n循环运行一次。在j = 1：n循环内有n次计算。因此对于j = 1：n循环，其n ^ 2。这在i = 1：n循环内运行n次，因此计算的总量为n ^ 3，大O值为O（N ^ 3）。这是对的吗？

Answer 1

简短的回答是：

O(n^2)

长（简化）答案是：

大＆＃34; O＆＃34;是指算法的复杂性（在本例中是您的代码）。你的问题问了多少＆＃34;执行循环或操作，但是＆＃34; O＆＃34;符号给出了算法复杂性的相对概念，因此不是绝对量。这完全是不切实际的，O符号的概念是概括了复杂性的度量，以便算法可以相对于另一个进行比较，而不必过多担心执行了多少分配，循环等。

话虽如此，但有关于如何计算算法复杂性的具体指导原则。一般为：

循环具有复杂度O（＆＃34; n＆＃34;），无论它们执行多少迭代（记住，这是一个抽象的度量）。
分配，添加等操作通常近似为O（1）（复杂度为1），因为它们执行的时间可以忽略不计。

if then else操作有一些具体规则，但会让事情变得更复杂，我邀请您阅读一些introduction material on performing algorithm complexity analysis。

另外，要小心，＆＃34; n＆＃34;不是在你的代码中使用的，它是一个特殊的符号，用于表示＆＃34;泛型＆＃34;线性复杂性。

测量算法的复杂性是一种递归操作。你从基本的操作开始，然后转到循环等等。所以，这里有一个详细的（我故意细节太多，所以你知道它是如何工作的，但在实践中你不必进入那个级别细节）：

您从第一条指令开始：

O(total = 0;) = O(1)

因为这是一项任务。

然后：

O(total = total + j;) = O(total + j) + O(total = x)

其中x是total + j的结果。

                      = O(1) + O(1)

这些是基本操作，因此它们的复杂度为1。

                      = O(1)

因为＆＃34; O＆＃34;是一个伟大的＆＃34;伟大的＆＃34;将任何常量之和视为1的指标。

现在进入循环：

O(
    for i = 1:n // O(n)
        for j = 1:n // O(n)
            total = total + j; // O(1)
        end
    end
)
=
O(
    n * ( 
        n * (
            1
        )
)
= O(n * n * 1)
= O(n^2)

如果连续有两个循环（对于......;对于......;），复杂度不是O（2n），而是O（n），因为O再次推广。

希望有所帮助：）

Answer 2

您的分析是在正确的轨道上，但您高估了成本n倍。特别是，请看这里：

在j = 1：n循环内有n次计算。所以对于j = 1：n循环，它的n ^ 2。

你是对的，j = 1：n循环进行n次计算，但循环的每次单独迭代只进行1次计算。由于循环运行n次，所完成的工作是O（n），而不是O（n ²）。如果你从那时起重复其余的分析，你最终会得到完成的总工作量是Θ（n ²），这比你之前的结果更紧密。

作为一个注释 - 你实际上可以非常显着地提高速度。请注意，内部循环将总计增加1 + 2 + 3 + ... + n。我们知道1 + 2 + 3 + ... + n = n（n + 1）/ 2，所以你可以重写代码

total = 0;

for i = 1:n
     total = total + n * (n + 1) / 2;
end

但请注意，现在你只需添加n份n *（n + 1）/ 2，所以你可以将其重写为

total = n * n * (n + 1) / 2

并且整个过程需要时间O（1）。

大O符号估计

2 个答案: