嵌套For循环的运行时间估计/大O表示法

Question

我无法理解函数f（x）的含义，它表示在某些代码中执行的操作数。

int sum = 0; // + 1
for (int i = 0; i < n; i++)
    for (int j = 1; j <= i; j++)
        sum = sum + 1; // n * (n + 1) / 2

（请注意，最后一条评论的分子中没有2，但下面的函数中有。）

然后我的笔记说f（x）= 2n（n + 1）/ 2 + 1 = O（n ^ 2）

我明白因为有两个for循环，无论f（x）是什么，它都是= O（n ^ 2），但为什么时间估计它是什么？ j＆lt; =我如何给你n *（n + 1）？分母中的2怎么样？

Answer 1

在整个代码执行过程中，考虑内部循环运行的次数。注意

• 当i = 0时，它运行零次;
• 当i = 1时，它运行一次;
• 当i = 2时，它会运行两次;
• 当i = 3时，它会运行三次;
• ...;和
• 当i = n - 1时，它运行n - 1次。

这意味着最内圈循环的总次数由

给出

  

0 + 1 + 2 + 3 + 4 + ... +（n - 1）

这是一个着名的总结，它解决了

  

0 + 1 + 2 + 3 + 4 + ... +（n - 1）= n（n - 1）/ 2

这是n - 1st triangular number，值得将此提交给记忆。

给出的数字 - n（n + 1）/ 2 - 似乎不正确，但它非常接近真实数字。我认为他们认为循环会运行1 + 2 + 3 + ... + n次而不是0 + 1 + 2 + ... + n - 1次。

由此可以更容易地看出O（n ² ）术语的来源。注意n（n - 1）/ 2 = n ² / 2 - n / 2，所以在big-O land中我们放下常数和低阶项，我们留下n ²