Question

我正在编写一个计算机程序/算法来计算半径为R的球体内的整数点数和以原点为中心的尺寸D.本质上，如果我们有一个维度为2（圆）和半径为5的球体，我正在确定不等式X ^ 2 + Y ^2≤25的所有整数解。而不是计算每个可能的整数点，是否有一种有效的方法算点数？使用对称性？

Answer 1

假设尺寸为3，R为半径。对于z = 0，可能的x，y坐标是半径为R的圆内的点，对于任何z，x，y是半径为sqrt的圆内的点（R * R-z * z）; z的可能值是-r，.. 0,1，.. r其中r是小于R的最小整数。注意z和-z的计数将是相同的。

当我们得到维度1时，我们问的是我满足了多少个整数| i | ＆LT; R，这是1 + 2 * r

所以：

int ncip( int dim, double R)
{   
    int i;
    int r = (int)floor( R);
    if ( dim == 1)
    {   return 1 + 2*r; 
    }
    int n = ncip( dim-1, R); // last coord 0
    for( i=1; i<=r; ++i)
    {   n += 2*ncip( dim-1, sqrt( R*R - i*i)); // last coord +- i
    }
    return n;
}

Answer 2

好吧，使用对称性，您可以始终只计算正面的所有整数解，然后反转组件。所以，如果你的圈子（D = 2，R = 5），你只需要找到 {X，Y∈N：X 2 + Y2≤R}。然后创建组合（X，Y），（X，-Y），（ - X，Y），（ - X，-Y）
这使您只需要（1/2）^D解决方案即可找到。

此外，您可以将半径为R的圆近似为半径为R /√2的正方形，因此可以自动添加小于或等于该整数的所有整数组合。

查找半径为R的球体内的整数点数和以Origin为中心的尺寸D.

2 个答案: