Question

我正在尝试编写一个有效的算法来计算半径R和尺寸D的球体内的点数。球体始终位于原点。假设我们有一个半径为5的圆球2（圆）

我的策略是在第一象限内生成所有可能的点，因此对于上面的例子，我们知道（1,2）在圆圈中，所以该点的所有+ / - 组合必须是简单的维度平方。因此，对于在n维球体的单个象限中找到的每个点，我们在总计数中添加2 ^维度。

我不确定这个问题是否有更有效的解决方案，但这是我迄今为止在实施方面所拥有的。

int count_lattice_points(const double radius, const int dimension) {
int R = static_cast<int>(radius);

int count  = 0;

std::vector<int> points;
std::vector<int> point;

for(int i = 0; i <= R; i++)
    points.push_back(i);

do {
    for(int i = 0; i < dimension - 1; i++)
        point.push_back(points.at(i));

    if(isPointWithinSphere(point, radius)) count += std::pow(2,dimension);
    point.clear();

}while(std::next_permutation(points.begin(), points.end()));

return count + 3;
}

在这种情况下我可以修复或改进什么？

Answer 1

对于2D情况，这是Gauss's circle problem.一个可能的公式：

N(r) = 1 + 4 * r + 4 * Sum[i=1..r]{Floor(Sqrt(r^2-i^2))}

（中心点+四个象限，轴为4 * r，其他为象限区域）。

请注意，2D情况下没有已知的简单闭合数学表达式。

一般来说，您使用象限，八分音等的想法是对的，但检查所有点太贵了。

人们可能会发现从1..D组合从0到r ^ 2的所有方块的方法的数量整数正方形（（4）公式的扩展名）。

请注意，组合学有助于加快计算速度。例如，找到方法的数量就足够了从D自然方格中生成X ^ 2，并乘以2 ^ D（不同的符号组合）;找到从D-1自然方格中制作X ^ 2的方法的数量，并乘以D * 2 ^（D-1）（不同的符号组合+ D位置为零加数）等等

D = 2的例子，R = 3

addends: 0,1,4,9
possible sum     compositions    number of variants        
0               0+0             1
1               0+1,1+0         2*2=4
2               1+1             4      
4               0+4,4+0         2*2=4
5               1+4,4+1         2*4=8  
8               4+4             4
9               0+9,9+0         2*2=4
-------------------------------------
                                29

Answer 2

我在这里展示了我的2D算法（带有一些源代码和一个丑陋但方便的插图）： https://stackoverflow.com/a/42373448/5298879

它比其中一个季度中圆的原点和边缘之间的MBo's计数点快大约3.4倍。

你只需要想象一个铭刻的正方形，只计算该圆圈内那个正方形外的八分之一。

public static int gaussCircleProblem(int radius) {
    int allPoints=0; //holds the sum of points
    double y=0; //will hold the precise y coordinate of a point on the circle edge for a given x coordinate.
    long inscribedSquare=(long) Math.sqrt(radius*radius/2); //the length of the side of an inscribed square in the upper right quarter of the circle
    int x=(int)inscribedSquare; //will hold x coordinate - starts on the edge of the inscribed square
    while(x<=radius){
        allPoints+=(long) y; //returns floor of y, which is initially 0
        x++; //because we need to start behind the inscribed square and move outwards from there
        y=Math.sqrt(radius*radius-x*x); // Pythagorean equation - returns how many points there are vertically between the X axis and the edge of the circle for given x
    }
    allPoints*=8; //because we were counting points in the right half of the upper right corner of that circle, so we had just one-eightth
    allPoints+=(4*inscribedSquare*inscribedSquare); //how many points there are in the inscribed square
    allPoints+=(4*radius+1); //the loop and the inscribed square calculations did not touch the points on the axis and in the center
    return allPoints;
}

Answer 3

类似于that described by MBo的方法，包括源代码，可在以下位置找到： https://monsiterdex.wordpress.com/2013/04/05/integer-lattice-in-n-dimensional-sphere-count-of-points-with-integer-coordinates-using-parallel-programming-part-i/

该方法包括找到半径的分区，然后对于球体中的每个分区，计算通过置换坐标和翻转非零坐标的符号在球体中表示的方式的数量。

计算半径为R且尺寸为D

3 个答案: