如何在d维球/球内生成均匀的随机点？

Question

我环顾四周，在单位球上/单位球上生成均匀随机点的所有解决方案都是针对2或3维设计的。

什么是（易处理）在任意尺寸的球内 内生成均匀随机点的方法？特别是，不仅仅是在表面上球。

首先，在多维数据集中生成随机点并抛弃范数大于1的点在高维度上是不可行的。高尺寸时，单位球的体积与单位立方体的体积之比为0。即使在10个维度中，单位立方体中也只有约0.25％的随机点也位于单位球内部。

Answer 1

在d维球中生成均匀分布的随机点的最佳方法似乎是考虑极坐标（方向而不是位置）。 下面提供了代码。

1. 在单位球上随机分布均匀分布的点。
2. 选择一个随机半径，其中半径的似然性对应于半径为d的球的表面积。

此选择过程将（1）使所有方向的可能性均等，并且（2）使单位球内的球表面上的所有点均等可能。这将在球的整个内部生成我们所需的均匀随机分布。

随机拾取方向（在单位球上）

为了实现（1），我们可以从d个独立绘制的高斯分布的随机绘图中随机生成一个向量，并将其标准化为单位长度。 This works是因为高斯分布具有x^2指数的概率分布函数（PDF）。这意味着联合分布（对于独立的随机变量，这是其PDF的乘积）的指数将为(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_d^2)。注意，这类似于球体在d维上的定义，这意味着来自高斯分布的d个独立样本的联合分布对于旋转是不变的（矢量在球体上是均匀的）。

这是2D生成的200个随机点的样子。

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（随机选择半径）

为了实现（2），我们可以使用与半径为d的{​​{1}}尺寸的球的表面积对应的累积分布函数（CDF）的逆来生成半径。我们知道surface area of an n-ball与r成正比，这意味着我们可以在r^d范围内将其用作CDF。现在，通过将[0,1]到反[0,1]的范围内的随机数映射来生成随机样本。

这是r^(1/d)的CDF（对于二维）的视觉效果，x^2中随机生成的数字将映射到该曲线上的相应x坐标。 （例如[0,1]➞.1）

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上述代码

最后，这是一些计算以上所有内容的Python代码（假设您已安装NumPy）。

.317

对于后代，这是通过上述代码生成的5000个随机点的图像。