O（N）速度和O（1）存储器的汉明数

Question

免责声明：关于它有很多问题，但我没有找到任何需要恒定记忆的问题。

汉明数是一个数字2^i*3^j*5^k，其中i，j，k是自然数。

是否有可能在O（N）时间和O（1）（常数）存储器中产生第N个汉明数？在生成下我的意思是确切的生成器，即你只能输出结果而不能读取先前生成的数字（在这种情况下，内存不会是常数）。但是你可以保存一些常数。

我看到只有具有常量内存的最佳算法并不比O（N log N）好，例如，基于优先级队列。但有没有数学证明在O（N）时间内构造算法是不可能的？

Answer 1

这里要考虑的第一件事是直接切片枚举算法，例如可以看到in this SO answer，枚举序列成员的给定对数值（ base 2 ）附近的三元组(k,j,i)，以便target - delta < k*log2_5 + j*log2_3 + i < target + delta逐步计算累积对数选择j和k时，i直接知道。

因此 N ^2/3 时间算法产生 N ^2/3 - 宽切片一次的序列（k*log2_5 + j*log2_3 + i接近目标值，因此这些三元组形成tetrahedron填充Hamming sequence三元组 ¹ 的the image from Wikipedia的外壳，表示 O（1）每个生成数字的时间，从而在 O（N） 摊销中生成 N 序列成员时间和 O（N ^2/3 ） - 空间。与具有相同复杂性的基线Dijkstra算法 ² 相比没有任何改进，即使非摊销且具有更好的常数因子。

要使它成为 O（1） - 空间，随着我们沿着序列前进，需要缩小地壳宽度。但是地壳越窄，在列举它的三元组时就会有越来越多的失误 - 这几乎就是你要求的证明。对于整体 O，常量切片大小意味着每个 O（1）切片的 O（N ^2/3 ）工作（ N ^5/3 ）摊销时间， O（1）空间算法。

这是这一范围的两个终点：来自 N ¹ -time， N ^2/3 -space到 N ⁰ 空间， N ^5/3 -time，摊销。

¹ 这里的，对数垂直刻度：

{{3}}

这基本上是汉明序列三元组(i,j,k)的四面体，在空间中伸展为(i*log2, j*log3, k*log5)，从侧面看。如果图像是真正的3D图像，则图像有点歪斜。

编辑： ² 我似乎忘记了必须对切片进行排序，因为它们是由 j，k -enumerations。这改变了通过切片算法按顺序生成序列的 N 数字的最佳复杂度 O（N ^2/3 log N） time， O（N ^2/3 ）空间，使得Dijkstra的算法在那里成为胜利者。对于 O（1）切片，它不会改变 O（N ^5/3 ）时间的上限。