我试图表明,对图形进行3着色的NP完全问题减少了对图形进行10着色的问题。我已经展示了如何在多项式时间内验证10着色,因此NP。现在我只需要表明它确实可以减少为3色。
我的想法基本上证明是双条件的:给定图G,我们得到G具有3色,如果G具有10色。现在,我不知道如何展示这一点,因为很明显,G可以有10色而不是3色。因此,这让我相信必须有一些减少,以某种方式改变G,让我看到,是的,3着色确实减少到10着色。问题是,我很难想象这个。
任何人都可以帮助我吗?
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获取您给定的图表G
,并使用K_7
的实例对其进行补充,以便为每个顶点对(u, v) \in G x K_7
添加边以形成新的图G'
。这种增强显然可以在多项式时间内完成。
如果G
是3可着色的,G'
是10可着色的:
对G
进行3着色,使用其他7种颜色为K_7
实例着色。
如果G
不是3色可选,则G'
不是10色可选的:
K_7
中G'
的实例消耗7种颜色。 G
中不会出现这些颜色,因为G
和K_7
实例的每对顶点之间都有一条边。
考虑G
上的任意3色分配。由于G
不是3可着色的,因此必须有边((x_i, y_i)_i=1..m
,其顶点在此赋值下具有相同的颜色。
假设我们同时重新着色所有顶点{x_i, y_i}_i=1..m
。但是,K_7
实例中使用的颜色和用于G
顶点的3种颜色之间没有顶点'新颜色'(在后一种情况下,分配仅限于G
重新加工后不予受理)。因此我们需要第11种颜色。