将3色减少到10色(NP完全性)

时间:2016-04-21 00:22:14

标签: graph-theory np-complete

我试图表明,对图形进行3着色的NP完全问题减少了对图形进行10着色的问题。我已经展示了如何在多项式时间内验证10着色,因此NP。现在我只需要表明它确实可以减少为3色。

我的想法基本上证明是双条件的:给定图G,我们得到G具有3色,如果G具有10色。现在,我不知道如何展示这一点,因为很明显,G可以有10色而不是3色。因此,这让我相信必须有一些减少,以某种方式改变G,让我看到,是的,3着色确实减少到10着色。问题是,我很难想象这个。

任何人都可以帮助我吗?

1 个答案:

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获取您给定的图表G,并使用K_7的实例对其进行补充,以便为每个顶点对(u, v) \in G x K_7添加边以形成新的图G'。这种增强显然可以在多项式时间内完成。

  • 如果G是3可着色的,G'是10可着色的:

    G进行3着色,使用其他7种颜色为K_7实例着色。

  • 如果G不是3色可选,则G'不是10色可选的:

    K_7G'的实例消耗7种颜色。 G中不会出现这些颜色,因为GK_7实例的每对顶点之间都有一条边。

    考虑G上的任意3色分配。由于G不是3可着色的,因此必须有边((x_i, y_i)_i=1..m,其顶点在此赋值下具有相同的颜色。 假设我们同时重新着色所有顶点{x_i, y_i}_i=1..m。但是,K_7实例中使用的颜色和用于G顶点的3种颜色之间没有顶点'新颜色'(在后一种情况下,分配仅限于G重新加工后不予受理)。因此我们需要第11种颜色。