Question

我正试图在我的逻辑考试之前正式证明以下等式。但是，我在完成这些步骤时遇到了一些困难。这是我正在使用的规则;

A ∧ A ≡ A, A ∨ A ≡ A idempotence
A ∧ B ≡ B ∧ A, A ∨ B ≡ B ∨ A commutativity
A ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C , A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ C associativity
A ∧ (A ∨ B) ≡ A, A ∨ (A ∧ B) ≡ A absorption
A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C ) distributivity
A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C ) distributivity
A ∧ (¬A) ≡ false, A ∨ (¬A) ≡ true negation
¬(¬A) ≡ A double negation
¬(A ∧ B) ≡ (¬A) ∨ (¬B), ¬(A ∨ B) ≡ (¬A) ∧ (¬B) de Morgan
A ⇒ B ≡ (¬A) ∨ B implication
A ⇔ B ≡ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) bi-implication

这是等式;

 (p⇒r) ∧ (q⇒r) ≣ (p∨q) ⇒ r

我认为我使用，暗示，可共用性和分配性，但我仍然坚持这一点。感谢任何帮助！

Answer 1

这是一个正式的证据

(p∨q) ⇒ r ≣ ¬(p∨q) ∨ r          implication
          ≣ (¬p∧¬q) ∨ r         de Morgan
          ≣ (¬p∨r) ∧ (¬q∨r)     distributivity and commutativity
          ≣ (p⇒r) ∧ (q⇒r)       implication

但请注意，没有人会这样认为，实际的练习应该包括解释为什么两个表达式都是等价的。

<强>说明

鉴于来自p ⇒ (p∨q)的{{1}}，我们得到(p∨q) ⇒ r，因此p ⇒ (p∨q) ⇒ r。{由于相同的参数对p ⇒ r有效，我们也得到q。所以，q ⇒ r。
相反，如果(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)，则(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)必须为r，而p和q恰好为真。换句话说，只要(p∨q)为真。因此(p∨q) ⇒ r。

命题逻辑形式证明

1 个答案: