Question

我正在尝试为家庭作业证明以下案例并且已经工作了几个小时，但仍然没有运气。

关于我做错了什么的任何建议或评论？

Answer 1

这就是你在Coq中证明它的方式：

Coq < Theorem curry : forall p q r, ((q /\ p) -> r) -> p -> q -> r.
1 subgoal

  ============================
   forall (p q : Prop) (r : Type), (q /\ p -> r) -> p -> q -> r

首先，我们将所有场所命名为：

curry < intros p q r f x y.
1 subgoal

  p : Prop
  q : Prop
  r : Type
  f : q /\ p -> r
  x : p
  y : q
  ============================
   r

产生子目标r的唯一前提是f：

curry < apply f.
1 subgoal

  p : Prop
  q : Prop
  r : Type
  f : q /\ p -> r
  x : p
  y : q
  ============================
   q /\ p

要应用f，我们首先需要满足子目标q和p：

curry < split.
2 subgoals

  p : Prop
  q : Prop
  r : Type
  f : q /\ p -> r
  x : p
  y : q
  ============================
   q

subgoal 2 is:
 p

前提y是subgoal q的证明：

curry < exact y.
1 subgoal

  p : Prop
  q : Prop
  r : Type
  f : q /\ p -> r
  x : p
  y : q
  ============================
   p

前提x是子目标p的证明：

curry < exact x.
No more subgoals.

我们完成了。这是完整的证据：

curry < Qed.
intros p q r f x y.
apply f.
split.
 exact y.

 exact x.

curry is defined

在像Haskell这样的函数式编程语言中，你有：

curry :: ((q, p) -> r) -> p -> q -> r
curry f x y = f (y, x)

由于Curry-Howard correspondence，所有事情都有效。

Answer 2

感谢@Aadit我们有Coq证明，提供Agda证明只是公平的---道德的？---

一个直接而简单的证据是

open import Data.Product

portation : {P Q R : Set} → (P × Q → R) → (P → Q → R)
portation P×Q→R = λ p q → P×Q→R (p , q)

当然，如果提问者不熟悉Agda并且正在寻求正规化，这一点可能根本不清楚。所以让我们详细介绍!!

在建设性逻辑中，命题可以被视为小类型：

ℙrop = Set

然后配对是形成共轭的常用方法，

data _∧_ (P Q : ℙrop) : Set where
 ∧I : P → Q → P ∧ Q

在建设性逻辑中，暗示只是函数空间：说一件事意味着另一件事就等于产生一个过程，第一类输入会返回第二类输出。

_⇒_ : (P Q : ℙrop) → Set
_⇒_ = λ P Q → (P → Q)

蕴涵介绍只是通常的功能定义，而蕴涵消除只不过是功能应用。

⇒I : ∀ {P Q} → (P → Q) → P ⇒ Q
⇒I P→Q = P→Q

⇒E : ∀ {P Q} → P ⇒ Q → P → Q
⇒E P→Q p = P→Q p

现在提问者正在使用自然演绎风格的证明，所以让我们介绍一些语法糖来弥补从纸笔证明到Agda形式化的差距。

syntax ⇒I {P} {Q} (λ p → q) = ⇒-I-assuming-proof p of P we-have Q proved-by q

现在证明！

shunting : (P Q R : ℙrop) → (P ∧ Q) ⇒ R → P ⇒ (Q ⇒ R)
shunting P Q R P∧Q⇒R =
                    ⇒-I-assuming-proof p of P
                    we-have Q ⇒ R proved-by

                        ⇒-I-assuming-proof q of Q
                        we-have R proved-by

                            ⇒E P∧Q⇒R (∧I p q)

这不仅具有可读性，而且与提问者的演示文稿有些接近！

Agda真是太开心了！

Answer 3

这是使用Klement的Fitch风格自然演绎证明检查器和 forallx 教科书提供的证明。（链接在下面。）

最初尝试的主要问题是第8行和第9行没有执行这些假设。根据缩进和花括号，它们似乎保留在相同的子证明中。

否则，证明与我提供的证明相同。在第6行中，我通过引入条件（第3-5行）来消除了对第3行中的“ Q”所做的假设。在第7行中，我通过引入条件（第2-6行）来消除了第2行中的假设“ P”。

参考

Kevin Klement的JavaScript / PHP Fitch风格自然演绎证明编辑器和检查器http://proofs.openlogicproject.org/

P。 D.Magnus，Tim Button和J.Robert Loftis的补充内容由Aaron Thomas-Bolduc，Richard Zach，forallx Calgary Remix混音和修订，2018年冬季。http://forallx.openlogicproject.org/

命题逻辑和证明

3 个答案: