为什么这个函数具有对数时间复杂度（计算数字的第n个根）？

Question

上周，我正在接受一个关于计算机科学和教授的特定MOOC。使用了一种低效的方法来计算数字的平方根（他后来也展示了其他方法）。

这是用C ++实现的函数：

double sqrt(double num)
{
    double eps = 0.001;
    double step = 0.001;

    double result = 0.0;

    while (num - (result * result) > eps)
    {
        result += step;
    }

    return result;
}

我知道while循环将被执行（num / step的平方根）次。

我决定用matplotlib绘制一个从1到199（含）的数字范围内的函数增长图，结果如下：

然后，我将它与（log（x）/ step）绘图进行比较，再次结果如下：

所以，我有以下问题：

• 为什么它是对数的？为什么这适用于数字的任何第n个根（使用上述方法）不仅仅是平方根？
• sqrt增长与log（x）之间的差距是什么？

我知道有更有效的方法可以达到数字平方根的相同结果，但我需要有人对这个结果有所了解。

Answer 1

当你说循环执行sqrt(num)次时，你是正确的，这使得它的复杂性√num。然而，与后面的假设相反，平方根不是对数的：它只是num^(1/2)，这使得它在宏观方案中成为多项式。

一个明确的标志和视觉帮助是它在对数图上不是直线：

左边的线是平方根，右边的线是10的对数。

显然，差距是因为它不是对数的。