用对数增长计算嵌套循环的时间复杂度

Question

我正在以自己的速度在线学习。我正在解决一些例子，但我不能围绕这个例子：

while(i<n)
{
     for(int j=1; j<=i; j++)
         sum = sum + 1;
     i *=2;
}

我认为答案应该是2 ^ n，但我的朋友说nlog（n）

有人可以找到这个循环的大O并向我解释如何这样做吗？

Answer 1

外部循环将进入它的身体log2(n)次，因为i呈指数级增长，从而越来越快地到达终点n。例如，如果n为1024，则只需要10次迭代，n=65536，则为16次迭代。准确计数为log2(n)，但就运行时复杂性而言，对数行为就足够了。所以这里的复杂性是O(log(n))。

每次评估时，内循环for(int j=1; j<=i; j++)将运行到相应的i。可以显示平均运行宽度约为n / log2(n)，因为i为1，2，4，... n log2(n)步骤。{例如，如果n为31，则i为1，2，4，8，{{1} }，总和为16，步数为31。因此，允许在此处采用复杂性5。

然后O(n/log(n))为O(log(n)*n/log(n))，即O(n)。

Answer 2

我们可以假设N等于2^k + 1而不失一般性。我们需要找到内循环的迭代次数。外循环将进行k次迭代，内循环的2^0, 2^1, ..., 2^k次迭代。让我们总结一下这个值。

Answer 3

它是n。

如果n=2^k则复杂性为k，

第二个循环：2^1 + 2^2 + ... 2^k = 2^(k+1)-1 ~= 2^(k+1)

2^(k+1) = 2*n