如何在一组q状态下提出给定DFA的递推方程？

Question

我正在尝试通过以下链接解决问题2：Check out Q.2。

这就是我对以下确定性有限自动机接受的长度为N(k)的二进制字符串的数量k感兴趣（来源：URL）。

例如N(2)=2，因为只有01和10这样的字符串。特别是我对N(k)的递归关系很感兴趣。

Answer 1

N(k) = 2*N(k-3) + N(k-2)的重复为k>=3，边界条件为N(0)=N(1)=0和N(2)=2。

原因是给定一个可接受的字符串w（可接受的我指的是DFA接受的字符串），您可以使用11将其扩展为“保持”最终状态或添加010或001（长度均为3）要么“保持”在最终状态;复发直接来自这些观察（想一想）。

举个例子，这是自动机接受的前几个长度为k=2,3,...,7的字符串：

• 对于k = 2，解决方案为01，10。
• 对于k = 3，没有解决方案。
• 对于k = 4，解决方案为0111，1011。
• 对于k = 5，解决方案为01001，01010，10010，10001。
• 对于k = 6，解决方案为011111，101111。
• 对于k = 7，解决方案为0100111，0101011，1001011，1000111，0111001，0111010，{{1} }，1011001。

我们可以看到重复正确计算解决方案的数量：

• N（3）= 2 * N（0）+ N（1）= 2 * 0 + 0 = 0.
• N（4）= 2 * N（1）+ N（2）= 0 + 2 = 2.
• N（5）= 2 * N（2）+ N（3）= 2 * 2 + 0 = 4.
• N（6）= 2 * N（3）+ N（4）= 2 * 0 + 2 = 2.
• N（7）= 2 * N（4）+ N（5）= 2 * 2 + 4 = 8.