Question

在Agda，Idris或Haskell等类型扩展名的语言中，有=类型，如下所示

data a :~: b where
  Refl :: a :~: a

a :~: b表示a和b相同。

可以在calculus of constructions或Morte（这是基于构造计算的编程语言）中定义这样的类型吗？

Answer 1

CoC中a :~: b的标准教会编码是：

(a :~: b) =
   forall (P :: * -> * -> *).
      (forall c :: *. P c c) ->
      P a b

Refl正在

Refl a :: a :~: a
Refl a =
   \ (P :: * -> * -> *)
     (h :: forall (c::*). P c c) ->
     h a

以上表示 types 之间的相等性。对于术语之间的相等性，:~:关系必须采用其他参数t :: *，其中a b :: t。

((:~:) t a b) = 
   forall (P :: t -> t -> *).
      (forall c :: t. P c c) ->
      P a b

Refl t a :: (:~:) t a a
Refl t a =
   \ (P :: t -> t -> *)
     (h :: forall (c :: t). P c c) ->
     h a

Answer 2

id : \/a : *. a -> a
id = \a : *. \x : a. x

eqn : \/a : *. a -> a -> *
eqn = \a : *. \x : a. \y : a. \/p : (a -> *). p x -> p y

refl : \/a : *. \/x : a. eqn a x x
refl = \a : *. \x : a. \p : (a -> *). id (p x)

其中\/是pi构造函数，\是lambda构造函数。

我认为Church-Scott编码的想法是将类型定义为消除规则，将构造函数定义为引入规则。

either是一个很好的例子：

either : * -> * -> *
either = \a : *. \b : *. \/r : *. (a -> r) -> (b -> r) -> r 

left : \/a : *. \/b : *. a -> either a b
left = \a : *. \b : *. \x : a. \r : *. \left1 : (a -> r). \right1 : (b -> r). left1 x

right : \/a : *. \/b : *. b -> either a b
right = \a : *. \b : *. \y : b. \r : *. \left1 : (a -> r). \right1 : (b -> r). right1 y

either被定义为析取的消除规则。

按照这个想法，eqn a x y必须定义为liebniz规则\/p : (a -> *). p x -> p y，因为方程式的消除规则是liebniz规则。

+）1 != 0的证明：

bottom : *
bottom = \/r : *. r

nat : *
nat = \/r : *. r -> (r -> r) -> r

zero : nat
zero = \r : *. \z : r. \s : (r -> r). z

succ : nat -> nat
succ = \n : nat. \r : *. \z : r. \s : (r -> r). s (n r z s)

id : \/a : *. a -> a
id = \a : *. \x : a. x

eqn : \/a : *. a -> a -> *
eqn = \a : *. \x : a. \y : a. \/p : (a -> *). p x -> p y

refl : \/a : *. \/x : a. eqn a x x
refl = \a : *. \x : a. \p : (a -> *). id (p x)

goal : eqn nat (succ zero) zero -> bottom
goal = \one_is_zero : (\/p : (nat -> *). p (succ zero) -> p zero). \r : *. one_is_zero (\n : nat. n * r (\a : *. r -> a)) (id r)

在构造微积分中的“反射”事物？

2 个答案: