Question

使用以下等式定义，我们将refl作为构造函数

data _≡_ {a} {A : Set a} (x : A) : A → Set a where
    refl : x ≡ x

我们可以证明函数在平等上是一致的

cong : ∀ { a b} { A : Set a }  { B : Set b }
       (f : A → B ) {m  n}  → m ≡ n → f m ≡ f n
cong f  refl  = refl

我不确定我能解析究竟发生了什么。我认为我们是隐藏参数的模式匹配refl：如果我们用refl替换第一个出现的另一个标识符，我们得到一个类型错误。在模式匹配之后，我想通过refl的定义m和n是相同的。然后魔术发生（关系的功能定义应用？还是内置？）

是否有关于发生了什么的直观描述？

Answer 1

是的，花括号{}中的参数是隐含的，只有在agda无法解决时才需要提供或匹配它们。有必要指定它们，因为依赖类型需要引用它们所依赖的值，但是一直拖动它们会使代码变得笨重。

表达式cong f refl = refl与显式参数（A → B）和（m ≡ n）匹配。如果你想匹配隐式参数，你需要将匹配的表达式放在{}中，但是这里没有必要。然后在右侧，它确实是使用f m ≡ f n构建（refl），它通过魔法和＃34;起作用。 Agda有一个内置的公理，证明这是真的。这个公理是相似的（但强于）J - 公理 - 归纳公理：如果某个C : (x y : A) → (x ≡ y) → Set对于C x x refl是正确的，那么对任何x y : A来说也是如此p : x ≡ y。

J : forall {A : Set} {C : (x y : A) → (x ≡ y) → Set} →
                     (c : ∀ x → C x x refl) →
                     (x y : A) → (p : x ≡ y) → C x y p
-- this really is an axiom, but in Agda there is a stronger built-in,
-- which can be used to prove this
J c x .x refl = c x -- this _looks_ to only mean x ≡ x
                    -- but Agda's built-in extends this proof to all cases
                    -- for which x ≡ y can be constructed - that's the point
                    -- of having induction

cong : ∀ { a b} { A : Set a }  { B : Set b }
       (f : A → B ) {m  n}  → m ≡ n → f m ≡ f n
cong f {x} {y} p = J {C = \x y p → f x ≡ f y} -- the type of equality
                                               -- of function results
                     (\_ → refl) -- f x ≡ f x is true indeed
                     x y p

（在最后一行中，我们：匹配显式参数f和p，以及隐式参数m=x和n=y。然后我们传递给{{1}一个隐式参数，但它不是第一个位置隐式，所以我们告诉agda它在定义中是J - 如果不这样做，Agda不会看到{{1}的含义是什么在C）

refl in agda：解释同余属性

1 个答案: