Question

这里说使用常规方法的时间复杂度是O（n ^ 2）。但我想知道怎么做？这是我对此的分析：

假设我们有一个等式：2x ^ 2 + x + 1
这里for循环将执行3次，即（顺序+ 1）次

    for(int i = order ; i>=0 ; i++){
         result = result + (mat[i] * coefficient^i);
    }

所以根据这个，时间复杂度应该是O（n + 1），即O（n）。为什么它说它的O（n ^ 2）？我在这里有点迷失。甚至一个暗示会做。

Answer 1

链接表明，评估coefficient^i的天真方式会倍增coefficient i次。那是O（i）。对0到n的所有指数重复此操作将为O(n^2)

评估多项式的一种天真的方法是逐个评估所有项。首先计算x ^ n，将该值乘以cn，对其他项重复相同的步骤并返回总和。如果我们使用简单的循环来评估x ^ n，则该方法的时间复杂度为O（n ^ 2）。

它还声称，如果你使用更好的算法计算coefficient^i，比如说，通过平方取幂，具有O（log n）复杂度，它将具有更低的总复杂度（O（n log n）），但霍纳的方法会比那更好。

Answer 2

是的，你是对的。您显示的表单通常称为Horner's Method。在基本操作（加法，乘法）的数量是 O（n）的意义上它是线性的，其中 n 是最高系数。

顺便说一句，上面的代码似乎包含错误。它应该是

for(int i = order ; i>=0 ; i--){

（原作是一个无限循环）。否则，它可以被认为是霍纳的实现。

Answer 3

嗯，它可能不那么明显但是一些原始操作具有不同的时间复杂度。计算机计算+操作的结果非常快，* - 速度较慢，% - 速度更慢。这些操作在硬件上进行评估，因此它们可以获得恒定数量的处理器滴答。

但^操作并非如此简单。 coefficient^i复杂度不是O（1）/常数。计算结果的简单方法是乘以coefficient i次。这将在O（i）时间内完成。另一种方法是使用二进制取幂方法，它可以提供更快的O（log（i））时间。

为什么说它的O（n ^ 2）？

您在多项式中有n个成员，您需要花费O（n）时间来计算每个成员的取幂运算结果。这就是为什么它是O（n ²）。