complexity-theory - 多项式时间复杂度中的负系数

在谈论多项式复杂性时，只有具有最高度数的系数才算数。

但我认为你可以有T（n）= n * n - n = n *（n-1）。 n-1代表你在第一次或最后一次迭代时不做的事情。

无论如何，复杂性仍然是n * n。

算法可能在其时间复杂度上具有负系数，但总体而言算法将具有一些正时间复杂度。作为维基百科的example，请使用函数f(x)=6x^4-2x^3+5。他们解决O(x^4)的复杂性如下：

对于某些合适的x0和M选择以及对于所有x＆gt; X0。为了证明这一点，设x0 = 1且M = 13.然后，对于所有x> 1。 X0：



所以，

也就是说，即使在原始等式中存在负系数，仍然存在基于具有最高幂次序的项的一些正的总时间复杂度。

下限怎么样？根据定义，我们可以使用以下definition找到任何函数的下界：当n进入无穷大，然后对于某些常数k和某些n0我们有以下适用于所有n>n0：

让我们猜测上面的函数f（x）也是Omega（x ^ 4）。这意味着：

6x ^ 4 - 2x ^ 3 + 5> = kx ^ 4

解决k：

k＆lt; =（6x ^ 4 - 2x ^ 3 + 5）/（x ^ 4）

k <= 6 - 2x ^ -1 + 5x ^ -4

术语（2 / x）接近0，（5 / x ^ 4）也是如此，因此我们可以为某些大的x0 = 30选择k=2。为了证明这一点，我们展示了：

6x ^ 4 - 2x ^ 3 + 5> = 2x ^ 4其中x> 1。 30

4x ^ 4 - 2x ^ 3 + 5> = 0

哪个成立。所以f(x)是Omega（x ^ 4），我们也可以得出结论，我们找到了一个紧密的界限，f(x)是Theta（x ^ 4）。

为什么这会起作用，即使系数是负数？对于Big O和Big Omega表示法，我们正在寻找一个界限，使得在某个点之后一个函数支配另一个函数。也就是说，as these graphs illustrate：

http://cs.anu.edu.au/~Alistair.Rendell/Teaching/apac_comp3600/module1/images/Introduction_BigOGraph.png - Big O

http://cs.anu.edu.au/~Alistair.Rendell/Teaching/apac_comp3600/module1/images/Introduction_BigOmegaGraph.png - Big Omega

考虑到我们的原始f（x），6x^4比2x^4（我们的kg（x）函数）增长得更快。在某些点之后，6x^4字词将超过2x^4的增长，使其始终大于2x^4。从图形上看，这两个函数看起来像这样：

http://www3.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP8991a0763a90cg9c64500002i49d6b33c5684hg?MSPStoreType=image/gif&s=47&w=319&h=132&cdf=RangeControl

尽管系数为负，但显然kg(x)是f(x)的下限。

现在，对于具有任何负系数的任何多项式函数，这总是如此 - 具有任何系数的函数f(x)将受其最高次多项式的约束吗？不可以。如果具有最高度的项具有负系数，则边界不完全相同。拿f(x) = -2x^2。我们可以显示f(x) = O(x^2)：

-2x ^ 2＆lt; = cx ^ 2 -2＆lt; = c

任何c>0都可以满足（因为c定义为正常数）。但是，如果我们尝试对下限做同样的事情：

-2x ^ 2＆gt; = cx ^ 2 -2＆lt; = c

然后我们找不到合适的c因为c必须是非负的。

多项式时间复杂度中的负系数

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