在路径中找到最小三个节点并以起始节点结束的最小距离？

Question

我遇到了一个问题，即找到解决问题的最佳算法：在图表中找到从起点到起点（制作一个周期）的最小路径，并访问图中最少的三个不同节点。例如，如果我们的图表G(V,E)包含V={a,b,c,d,e}且边E={(a,b,16),(a,c,300),(a,d,1),(b,c,100),(b,e,15),(c,a,10),(e,c,20)}，则最短距离为61，并且会访问a->c->e->b->a。

我想将Dijkstra's algorithm用于加权图，但我不知道如何实现约束条件以访问最少3个节点？它看起来像汉密尔顿循环问题，但没有使用所有节点，只有部分节点。这是NP完全问题吗？

任何帮助都将不胜感激。

Answer 1

实现这一目标的一种简单方法如下：

1. 预先计算所有对最短路径（例如，使用Floyd–Warshall或为每个可能的起始节点运行Dijkstra）
2. 对于图中不同节点的每个元组（a，b，c），考虑从a到b，b到c和c到a的最短路径的串联。
3. 报告所有检查路径的最小值。

运行时将由第二步控制，它具有运行时O（n ³ ）。所以不，问题不是NP难，因为我们必须访问的不同节点的数量是固定的（在这种情况下，3）。