Question

我正在帮助一个与工作相关的项目的朋友，他需要计算从节点a到节点b的最大容量，其中边缘具有容量。但是，从a到b的路径中的最大容量受到容量最低的边缘的限制。

让我试着用一个简单的样本来解释 Simple sample graph

因此，图是带有加权边的有向图，它可以是循环的。具有最高容量的路径将是s-> b-> t并且具有250的容量，因为该边缘设置了限制。

我做了一些阅读，发现这类问题是"Widest path problem"，或者我称之为最小容量最小的路径，但我没有找到任何示例或任何伪代码解释如何解决这个问题。

我正在考虑使用BFS找到从s到t的所有路径，并且某种方式只允许在路径中访问一个节点，然后找到路径中的最小值，这会有效吗？

Answer 1

我会使用Dijkstra's的某些变体。我直接从维基百科中获取了下面的伪代码，只更改了5件小事：

将dist重命名为width（从第3行开始）
将每个width初始化为-infinity（第3行）
将来源的宽度初始化为infinity（第8行）
将完成标准设置为-infinity（第14行）
修改了更新功能并签名（第20 + 21行）

1  function Dijkstra(Graph, source):
2      for each vertex v in Graph:                                 // Initializations
3          width[v] := -infinity  ;                                // Unknown width function from 
4                                                                  // source to v
5          previous[v] := undefined ;                              // Previous node in optimal path
6      end for                                                     // from source
7      
8      width[source] := infinity ;                                 // Width from source to source
9      Q := the set of all nodes in Graph ;                        // All nodes in the graph are
10                                                                 // unoptimized – thus are in Q
11      while Q is not empty:                                      // The main loop
12          u := vertex in Q with largest width in width[] ;       // Source node in first case
13          remove u from Q ;
14          if width[u] = -infinity:
15              break ;                                            // all remaining vertices are
16          end if                                                 // inaccessible from source
17          
18          for each neighbor v of u:                              // where v has not yet been 
19                                                                 // removed from Q.
20              alt := max(width[v], min(width[u], width_between(u, v))) ;
21              if alt > width[v]:                                 // Relax (u,v,a)
22                  width[v] := alt ;
23                  previous[v] := u ;
24                  decrease-key v in Q;                           // Reorder v in the Queue
25              end if
26          end for
27      end while
28      return width;
29  endfunction

一些（handwaving）解释为什么这样做：你从源头开始。从那里，你拥有无限的能力。现在检查源的所有邻居。假设边缘并非都具有相同的容量（在您的示例中，请说(s, a) = 300）。然后，没有更好的方法可以通过b到达(s, b)，因此您知道b的最佳案例容量。您继续前往已知顶点集的最佳邻居，直到到达所有顶点。

Answer 2

上面的答案得到了很好的解释。如果有人需要解释算法的正确性，请转到：

<强>证明：

在算法的任何一点，都会有 2组顶点A和B 。 A中的顶点将是找到正确的最大最小容量路径的顶点。并且集合B具有我们尚未找到答案的顶点。

归纳假设：在任何步骤中，集合A中的所有顶点都具有到它们的最大最小容量路径的正确值。即，所有先前的迭代都是正确的。

基本情况的正确性：当集合A仅具有顶点S时。那么S的值是无穷大，这是正确的。

在当前的迭代中，我们设置

val [W] = max（val [W]，min（val [V]，width_ between（V-W）））

归纳步骤：假设，W是集合B中具有最大val [W]的顶点。并且W从队列中出队并且W已经设置了答案val [W]。

现在，我们需要显示每隔一个S-W路径的宽度

对于集合B中的所有其他顶点X，val [X]＆lt; = val [W]

因此，W的任何其他路径都将受到val [X]的约束，它永远不会大于val [W]。

因此val [W]的当前估计是最优的，因此算法计算所有顶点的正确值。

在图中查找具有最大最小容量的路径

2 个答案: