Question

为了理解而编辑

我试图在特殊类型的树上证明属性。这棵树如下。问题是Coq生成的归纳原理不足以证明树的属性。对于一个更简单的例子，假设以下类型描述了我的所有“树”：

Inductive prv_tree(E:BES) : statement -> Prop :=
| REFL (G:propVar_relation)(a:Prop) : 
  prv_tree E (G |- a ---> a)
| TRA (G:propVar_relation) (a b c:Prop) :
  prv_tree E (G |- a ---> b) -> prv_tree E (G |- b ---> c) ->
    prv_tree E (G |- a ---> c).

然后，为了证明所有树木的健全性（例如暗示），我需要证明以下引理：

Lemma soundness: forall E:BES, forall f g:Prop, forall R G:propVar_relation, 
  (prv_tree E (G |- f ---> g)) -> (E,G,R |= f --> g).

我需要对树的结构应用归纳法。但是，如果我intros;induction H.，则第一个子目标是(E,G,R |= f --> g)，即f和g所需结构的信息丢失（我希望(E,G,R |= a --> a)）。（另外，对于归纳案例，归纳假设陈述(E,G,R |= f --> g)，这对我来说似乎很奇怪。

我尝试过的另一种方法是记住(G |- f ---> g)，以保持f和g的结构可用。证明然后以intros;remember (G |- f --> g) as stmt in H.induction H.的形式进行。然后，我获得的目标和环境就像我期望的基本情况一样。但是，为了证明案例TRA，我获得了以下证明背景：

H : prv_tree E (G0 |- a --> b)
H0 : prv_tree E (G0 |- b --> c)
IHprv_tree1 : G0 |- a --> b = G |- f --> g -> (E,G,R |= f --> g)
IHprv_tree2 : G0 |- b --> c = G |- f --> g -> (E,G,R |= f --> g)

虽然我认为归纳假设是

IHprv_tree1 : prv_tree E (G0 |- a --> b) -> (E,G,R |= a --> b)
IHprv_tree2 : prv_tree E (G0 |- b --> c) -> (E,G,R |= b --> c)

旧文字

我试图在特殊类型的树上证明属性。这棵树可以使用21种不同的规则构建（我不会全部   在此重复）。问题在于产生的感应原理   Coq不足以证明树的属性。

树构造如下
Inductive prv_tree (E:BES): (*BES ->*) statement -> Prop := 
.... (*constructors go here*).
其中一个构造函数是
CTX: forall a b c:propForm, forall x:propVar, forall G:propVar_relation,
  (prv_tree E (makeStatement G a b) -> 
    (prv_tree E (makeStatement G (replace c x a) (replace c x b))))
我的目标是证明
Lemma soundness: forall E:BES, forall f g:propForm, forall G:propVar_relation, 
  forall tree:prv_tree E (makeStatement G f g), rel_cc_on_propForm E (cc_max E) G f g.
要做到这一点，我记得makeStatement G f g，否则我输了   关于f和g结构的信息。然后，我应用感应   树。我已经证明所有病例都是单独的引理，我可以   成功用于基础案例。但是，对于归纳案例，   Coq呈现给我的归纳假设无法使用。

例如，对于前面提到的CTX构造函数，我获得了   遵循归纳假设：
IHP {| context := G; stm_l := a; stm_r := b |} =
  {| context := empty_relation; stm_l := replace c x a;
  stm_r := replace c x b |} ->
    E, cc_max E |- replace c x a <,_ empty_relation replace c x b
我无法使用。相反，我想要像
这样的东西
IHP prv_tree E {| context := G; stm_l := a; stm_r := b |} ->
  E, cc_max E |- replace c x a <,_ empty_relation replace c x b
有人可以向我解释如何解决这个问题吗？到目前为止，我已经尝试过了   在prv_tree上定义我自己的归纳原则，然而这会产生   在同样的问题中，也许我做错了？

CTX在我自己的归纳原则中的陈述如下：
  (forall a b c:propForm, forall x:propVar, forall G:propVar_relation, 
    (prv_tree E {| context := G; stm_l := a; stm_r := b |} ) ->
      P {| context := G; stm_l := replace c x a; stm_r := replace c x b |})

Answer 1

我想我理解你的问题，但我必须填写你问题的整体。如果你想出一个自成一体的例子会更容易，就像@ejgallego建议的那样。

以下是我如何模拟您的问题：

Axiom BES : Type.
Axiom propVar_relation : Type.

Inductive statement :=
| Stmt : propVar_relation -> Prop -> Prop -> statement.

Notation "G |- a ---> b" := (Stmt G a b) (at level 50).

Inductive prv_tree(E:BES) : statement -> Prop :=
| REFL (G:propVar_relation)(a:Prop) : 
  prv_tree E (G |- a ---> a)
| TRA (G:propVar_relation) (a b c:Prop) :
  prv_tree E (G |- a ---> b) -> prv_tree E (G |- b ---> c) ->
    prv_tree E (G |- a ---> c).

Lemma soundness: forall (E: BES) (f g:Prop) (R G:propVar_relation),
  (prv_tree E (G |- f ---> g)) -> R = R.

确实，我们遇到了与您在问题中描述的问题相同的问题。在记忆之后和进行归纳之前，解决方案是revert。

intros.
remember (G |- f ---> g) as stmt. revert f g R G Heqstmt.
induction H; intros.

现在归纳假设仍然很奇怪，但它们应该有效。

Answer 2

感谢您的帮助。最后，我自己找到了解决方案。诀窍在于定义辅助函数h:statement -> Prop，正如归纳原则所预期的那样，并使用此函数代替(E,G,R |= f --> g)。

Coq生成的归纳原理并不像我想要的那样

2 个答案: