我想对Peano螺帽进行归纳，但我想证明螺帽1 ... n上的性质P。 Coq是否提供策略/工具来做到这一点？

Question

我想证明不包含0的自然数。因此，我对属性P的基本假设是P 1而不是P 0。

我正在考虑使用n> = 0作为目标假设，但是在Coq中还有另一种方法可以做到这一点吗？

Answer 1

请考虑将属性转变为所有nat上的属性。

Definition P' (n : nat) := P (S n).

所以forall n, n >= 1 -> P n等效于forall n, P' n。

Answer 2

只需添加n > 0或n <> 0作为假设。示例：

Require Import Arith.
Goal forall n, n > 0 -> forall a, a = n - 1 -> a + 1 = n.
  induction n; intros H.
  - now apply Nat.nlt_0_r in H.  (* This case, 0 > 0, is simply impossible *)
  - intros a H1.
    now rewrite H1; simpl; rewrite Nat.sub_0_r, Nat.add_comm.
Qed.

Answer 3

一种可能的变体是直接对属性0 <= n进行归纳证明。

Require Import Arith.
Goal forall n, 1 <= n -> forall a, a = n - 1 -> a + 1 = n.
induction 1.
(* first case being considered is P 1. *)
   now intros a a0; rewrite a0.
now simpl; intros a a_m; rewrite a_m, Nat.add_1_r, Nat.sub_0_r.
Qed.

通过将_ <= _阶实际上定义为归纳关系这一事实，可以得到这种行为。