Question

我读到一个类型的归纳原理只是一个关于命题P的定理。所以我基于右（或反向）列表构造函数为List构造了一个归纳原理。

Definition rcons {X:Type} (l:list X) (x:X) : list X := 
  l ++ x::nil.

归纳原则本身是：

Definition true_for_nil {X:Type}(P:list X -> Prop) : Prop :=
  P nil.

Definition true_for_list {X:Type} (P:list X -> Prop) : Prop :=
  forall xs, P xs.

Definition preserved_by_rcons {X:Type} (P: list X -> Prop): Prop :=
  forall xs' x, P xs' -> P (rcons xs' x).

Theorem list_ind_rcons: 
  forall {X:Type} (P:list X -> Prop),
    true_for_nil P ->
    preserved_by_rcons P ->
    true_for_list P.
Proof. Admitted.

但是现在，我在使用这个定理时遇到了麻烦。我不知道如何调用它来达到与induction策略相同的效果。

例如，我尝试过：

Theorem rev_app_dist: forall {X} (l1 l2:list X), rev (l1 ++ l2) = rev l2 ++ rev l1.
Proof. intros X l1 l2. 
  induction l2 using list_ind_rcons.

但在最后一行，我得到了：

Error: Cannot recognize an induction scheme.

定义和应用list_ind_rcons等自定义归纳原则的正确步骤是什么？

由于

Answer 1

你所做的大部分都是正确的。问题是，由于中间定义，Coq很难认识到你所写的是归纳原理。例如，这可以正常工作：

Theorem list_ind_rcons:
  forall {X:Type} (P:list X -> Prop),
    P nil ->
    (forall x l, P l -> P (rcons l x)) ->
    forall l, P l.
Proof. Admitted.

Theorem rev_app_dist: forall {X} (l1 l2:list X), rev (l1 ++ l2) = rev l2 ++ rev l1.
Proof. intros X l1 l2.
  induction l2 using @list_ind_rcons.

我不知道Coq是否能够自动展开中间定义应该被认为是错误，但至少有一个解决方法。

Answer 2

如果想要保留中间定义，那么可以使用DT <- dbReadTable(my_db, "hist") ui <- fluidPage( sidebarPanel( numericInput("num", label = h3("select to see age increase above ", inputId = 'Value', min = 0),), mainPanel( dataTableOutput('Filter')), ) ) server <- function(input, output,session){ output$Filter <- renderDataTable( datatable( DT %>% filter(( <= )), ### need help here caption = 'Growth of Age Greater then User Input', selection="single", escape=FALSE, options = list( lengthMenu = list(c(5, 15, -1), c('5', '15', 'All')), pageLength = 10, #remove the search bar in the list sDom = '<"top">lrt<"bottom">ip' ) ), server = TRUE ) } shinyApp( ui = ui, server = server)机制，如下所示：

Section

Coq替换定义，Require Import Coq.Lists.List. Import ListNotations. Definition rcons {X:Type} (l:list X) (x:X) : list X := l ++ [x]. Section custom_induction_principle. Variable X : Type. Variable P : list X -> Prop. Hypothesis true_for_nil : P nil. Hypothesis true_for_list : forall xs, P xs. Hypothesis preserved_by_rcons : forall xs' x, P xs' -> P (rcons xs' x). Fixpoint list_ind_rcons (xs : list X) : P xs. Admitted. End custom_induction_principle.具有所需类型，list_ind_rcons有效：

induction ... using ...

顺便说一句，这种归纳原理存在于标准库（List模块）中：

Theorem rev_app_dist: forall {X} (l1 l2:list X),
  rev (l1 ++ l2) = rev l2 ++ rev l1.
Proof. intros X l1 l2. 
  induction l2 using list_ind_rcons.
Abort.

如何在Coq中使用自定义归纳原理？

2 个答案: