Question

我想要一个任意函数p [x]，它集成到1并且对于所有x，0 <= p [x]＆lt; = 1.某种转换规则？

Answer 1

你可以使用ProbabilityDistribution和x的未定义函数：

dist = ProbabilityDistribution[p[x], {x, -Infinity, Infinity}];

现在知道要应用的一些规则：

连续概率密度：单个值的概率为零

In[26]:= Probability[x == 0, x \[Distributed] dist]

Out[26]= 0

完全拥有价值的可能性

In[28]:= Probability[x > 0 || x <= 0, x \[Distributed] dist]

Out[28]= 1

CDF at - infinity

In[29]:= CDF[dist][-\[Infinity]]

Out[29]= 0

CDF at + infinity

In[30]:= CDF[dist][\[Infinity]]

Out[30]= 1

但是，它不会假设分发的PDF已标准化：

In[33]:= Integrate[PDF[dist][x], {x, -Infinity, Infinity}]

Out[33]= Integrate[p[x], {x, -Infinity, Infinity}]

可以教授后者，为p：

定义UpValue

p /: Integrate[p[x], {x, -Infinity, Infinity}] = 1;

现在它可以整合PDF：

In[4]:= Integrate[PDF[dist][x], {x, -Infinity, Infinity}]

Out[4]= 1

你知道你的第二个要求，即0 <= p[x] <= 1，对于概率密度函数一般都不正确，对吗？

Answer 2

如果你只是要求提供符合你标准的密度函数（PDF）的例子，这里有两个（不计其数很多）：

p(x) = 1 if 0 < x < 1
       0 otherwise

p(x) = x/2 if 0 < x < 2
       0 otherwise

我们甚至可以稍微概括一下：

p(x) = 1/k if 0 < x < k
       0 otherwise

p(x) = 2x/k^2 if 0 < x < k
       0 otherwise

后者适用于k＆gt; = 2。我们甚至可以用另一个参数推广它，以获得具有任意指数

的一类此类函数

p(x) = (a+1)/k^(a+1)*x^a if 0 < x < k
       0 otherwise

适用于所有＆gt; 1和k>一个+ 1。

对于更有趣的例子，我认为你需要提供更多标准。你提到了一个转换规则，所以也许你想在R1上采用一个任意的有界函数并对它进行平移/缩放，使它总是在0和1之间并且积分为1。只要你能得到给定函数的最小值，最大值和积分，这将有一个简单的答案。继续编辑问题，询问是否确实如此。